LeHKhai

em nhận áo r :v bọn trong lớp thấy áo đẹp gato lắm :v :v

Cho a;b;c là các số thực thỏa mãn điều kiện a;b lớn hơn 0 và 19a+6b+9c=12

CMR ít nhất 1 trong 2 phương trình sau có nghiệm : 

  $x^{2}-2(a+1)x+a^{2}+6abc+1=0$ và $x^{2}-2(b+1)x+b^{2}+19abc+1=0$

Ta có $\Delta {'_1} = a\left( {2 - 6bc} \right)$, $\Delta {'_2} = b\left( {2 - 19ac} \right)$.

Mà $\left( {2 - 6bc} \right) + \left( {2 - 19ac} \right) = 4 - c\left( {19a + 6b} \right) = 4 - c\left( {12 - 9c} \right) = {\left( {3c - 2} \right)^2} \ge 0$

Do đó ít nhất một trong hai số ${2 - 19ac}$, ${2 - 6bc}$ không âm.

Ta lại có $a \ge 0$, $b \ge 0$ nên ít nhất một trong hai số $\Delta {'_1}$, $\Delta {'_2}$ không âm.

Từ đó có đpcm.

 $2(x^2-x+6)=5 \sqrt{x^3+8}$

ĐK: $x \ge  - 2$

Đặt $a = x + 2$, $b = x^2 - 2x + 4$ ta có $2\left( {a + b} \right) = 5\sqrt {ab}  \Leftrightarrow 4{\left( {a + b} \right)^2} = 25ab \Leftrightarrow \left( {4a - b} \right)\left( {a - 4b} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}b \vee a = 4b$

Tới đây dễ rồi :v

Bài 3:

2. Cho $\Delta ABC$ thay đổi có $AB=6$,$AC=2BC$.Tìm giá trị lớn nhất của diện tích $\Delta ABC$.

 Untitled.png   18.53K   39 Số lần tải

Gọi $E$, $F$ : điểm chia trong, chia ngoài đoạn $AB$ theo tỉ số $2$ $ \Rightarrow EB = 2$, $BF=6$.

Ta có $(O; OE=4)$ là đường tròn Apollonius xác định bởi đoạn $AB$ và số $2$ và $C \in (O)$ (với O : trung điểm EF).

Khi đó ${S_{ABC}} \le \frac{1}{2}.6.4 = 12$.

Đẳng thức xảy ra khi $C$ là điểm chính giữa cung $EF$ của $(O)$.

Bài 1:Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^3+b^3+c^3-3abc=1$ .Tìm $minP=a^2+b^2+c^2 $

Bài 2: Cho $a,b,c,d$ thỏa mãn $a> b> c> d$ và $ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)$ . Chứng minh $ab+cd$ là hợp số

Bài 3:

1. Tìm hai số nguyên dương $a$ và $b$ thỏa mãn $a^2+b^2=[a,b]+7(a,b)$(với $[a,b]=BCNN(a,b); (a,b)=UCLN(a,b)$)

2. Cho $\Delta ABC$ thay đổi có $AB=6$,$AC=2BC$.Tìm giá trị lớn nhất của diện tích $\Delta ABC$.

Bài 4: Cho $a,b,c$ là các số nguyên tố thỏa mãn: $20abc<30(a+b+c)<21abc$. Tìm $a,b,c$.

Bài 1.

$1 = {\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc} \right)^2} = {\left( {a + b + c} \right)^2}{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right)^2}\mathop  \le \limits^{AM - GM} {\left[ {\frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2} + 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right)}}{3}} \right]^3} = {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^3}$

$ \Rightarrow P \ge 1$

Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \left( {a{\rm{, }}b{\rm{, }}c} \right) = \left( {0{\rm{; }}0{\rm{; }}1} \right)$ và hoán vị.