tonarinototoro

Đề bài: Cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

 Tìm giá trị nhỏ nhất của  A=xy+2yz+zx

$\left ( x+y+z \right )^{2}\geq 0\Rightarrow xy+yz+zx\geq -\frac{1}{2}\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )=-\frac{1}{2}(1)$

$\left | yz \right |=\left | y \right |.\left | z \right |\leq \frac{1}{2}\left ( y^{2} +z^{2}\right )\leq \frac{1}{2}\left ( x^{2}+y^{2} +z^{2}\right )=\frac{1}{2}\Rightarrow yz\geq -\frac{1}{2}(2) $

từ (1) và (2) có $ A\geq -1$

dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} y=-z & & & \\ x=0& & & \\ x+y+z=0& & & \end{matrix}\right.$ và $ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

<=> $x=0,y=\frac{\sqrt{2}}{2},z=\frac{-\sqrt{2}}{2}$ hoặc $x=0,y=\frac{-\sqrt{2}}{2},z=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Cho a,b là hai số thỏa mãn hệ thức $a^{2}+b^{2}= 1$ , $a^{3}+b^{3}= 1$ . Tính giá trị biểu thức  $T= a^{2005}+b^{2006}$

từ giả thiết $=>a^{2}+b^{2}=a^{3}+b^{3}\Leftrightarrow a^{2}\left ( a-1 \right )+b^{2}\left ( b-1 \right )=0$

mặt khác $a^{2}+b^{2}=1\Rightarrow a\leq 1,b\leq 1$ => $ a^{2}\left ( a-1 \right )+b^{2}\left ( b-1 \right )\leq0$

dấu "=" khi $a=1,b=0 hoặc a=0,b=1$ =>$P=1$

Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số sao cho bình phương của số này là một số có hai chữ số tận cùng là 96

bình phương của số cần tìm có tận cùng là 6 nên số đó có dạng $\overline{a6} $ hoặc $\overline{a4}$ với $a\in N*,1\leq a\leq 9$

có $ \overline{a6} ^{2}=\left ( 10a+6 \right )^{2}=100a^{2}+120a+36\equiv 20a+36 (mod100)\Rightarrow 20a+36\equiv 96(mod100)$

mà $20.1+36=56\leq 20a+36\leq 20.9+36=216$ nên $20a+36=96$ hoặc $20a+36=196$

=> $a=3$ hoặc $a=8$

Tương tự suy ra $a=1$ hoặc $a=6$

Các số cần tìm là $\{14,36,64,86\}$

Cho 2015 số thực dương a_1,a₂,.......,a₂₀₁₅ thỏa mãn

$\frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}}\geq 89$

Chứng minh rắng trong 2015 số trên luôn tồn tại 2 số bằng nhau 

có bên này rồi http://diendantoanho...2-số-bằng-nhau/

giả sử trong 2015 số trên không tồn tại 2 số nào bằng nhau thì $VT\leq 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2015}}$

ta sẽ chứng minh $VT<89$

thật vậy có $\frac{1}{\sqrt{k}}< \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$ với mọi $k\in \mathbb{N}$*

$\Rightarrow VT< 2\left [ \left ( \sqrt{2015}-\sqrt{2014} \right )+\left ( \sqrt{2014}-\sqrt{2013} \right )+..+\left ( \sqrt{2}-\sqrt{1} \right ) +\left ( \sqrt{1}-\sqrt{0} \right )\right ]=2\sqrt{2015}-2< 89$ => điều   trái với giả thiết

vậy điều giả sử là sai => KL...

đặt $x+y=S,xy=P$. đk $S^{2}\geq4P$

từ giả thiết suy ra $S(S^{2}-3P)-3P(S^{2}-2P)+4P^{2}S-4P^{3}=0\Leftrightarrow (S-2P)(S^{2}-SP+2P^{2}-3P)=0$

có $\frac{1}{4}S^{2}-SP+P^{2}=(\frac{1}{2}S-P)^{2}\geq 0,\frac{3}{4}S^{2}\geq \frac{3}{4}.4P=3P => S^{2}-SP+2P^{2}-3P>0$

$\Leftrightarrow S=2P\leq \frac{S^{2}}{2}\Rightarrow S\geq 2$ 

dấu $"=" <=> x=y=1$

những bài đối xứng như thế này thì thường đưa về tổng và tích 

đặt $\sqrt[3]{1+7x}=a,\sqrt[3]{2x-1}=b,3\sqrt[3]{x}=c$

suy ra $\left\{\begin{matrix}a+b=c & \\  3(a^{3}+b^{3})=c^{3}& \end{matrix}\right.$

đến đây dễ rồi, nhác giải

Ngược dấu hàng thứ 3 thì phải ?

thật ra là nhầm dấu hàng đầu tiên

ta cm bđt phụ sau $(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a) (*)$

BĐT(*)$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\geq 2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$ => dễ cm đc = AM-GM

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$ (vì $a+b+c=3$)

Bài 1: Tìm các số nguyên x để biểu thức

$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+3$ là 1 số chính phương.

bài này kẹp

có $x^{2}+x+3> 0\Rightarrow x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+3> x^{4}+2x^{3}+x^{2}=\left ( x^{2}+x \right )^{2}(1)$

Giải hệ : $\left\{\begin{array}{l} x^2-(x+y)y+1=0 \\(x^2+1)(x+y-2)+y=0 \end{array}\right.$

$PT(1)\Rightarrow x^{2}+1=\left ( x+y \right )y$

1) Xét  $x>y$ thì $\frac{1}{x}< \frac{1}{y}$ 

$(1)\Rightarrow x-y=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$

Nên VT>0 và VP<0 (loại)

Tương tự xét $x<y$ thì VT<0 và VT>0 (loại)

Do đó x=y 

Thay vào pt (2) tương đương

$(x^2+x-1)(x-1)=0$

Đến đây dễ rồi nha

x,y chưa chắc dương!

$1) \sqrt[3]{x^2-2}=\sqrt{2-x^3}$

 

ĐKXĐ: $x\leq \sqrt[3]{2}$

với $x\leq \sqrt[3]{2}$ thì $VT<0$ mà $VP\geq0$ => pt vô nghiệm

lộn đề  

bạn lấy bài này ở đâu vậy? mình từng làm 1 bài gần giống thế này nhưng ĐK cho là $\leq$