Gwyneth

a.

Góc AKB là góc nội tiếp chắn nửa (O) nên $\angle AKB =90^o$

Khi này dễ dàng có đpcm

b.

Do C là trung điểm OA nên $AC=\frac{OA}{2}=\frac{R}{2}$

Tứ giác BCHK nội tiếp nên chứng minh được $\triangle AHC \sim \triangle ABK$

Từ đó: $ \frac{AC}{AK}=\frac{AH}{AB} \Rightarrow AH.AK =AC.AB = \frac{R}{2}.2R=R^2$

c.

Lấy điểm E trên tia đối của BK sao cho KE=KM=KI

Chứng minh được tam giác AMO đều (có 3 cạnh = nhau) khi đó $ \angle MAB = 60^o$

Dễ dàng chứng minh được tứ giác ABKM nội tiếp nên $ \angle MKE =\angle MAB = 60^o$

khi đó tam giác MKE đều nên ME = MK(1)

Có $\angle CMB =\angle MAB = 6o^o$ (hai góc cùng phụ với góc AMC) nên

$ \angle MNK = \angle BME(2)$

Góc $CMB = 60^o$ nên $MB = 2MC$ mà $MN=2MC$ nên $MN=MB(3)$

Từ (1),(2) và (3) nên $ \triangle NMK = \triangle BME$ nên $NK = BE$ hay $NI +IK = BK + KI$ từ đó có đpcm

Với $xyz=1$ ta có $\frac{1}{xy+x+1}=\frac{z}{xyz+xz+z}=\frac{z}{1+xz+z}$

$\frac{y}{yz+y+1}=\frac{1}{xz+z+1}$

$\frac{1}{xyz+yz+y}=\frac{xz}{xz+z+1}$

Từ đó ta có đpcm