manh nguyen truc

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $x+y+z\leq \frac{3}{2}$.

Chứng minh:

$\frac{x^{6}+2x^{2}y+1}{x^{4}}+\frac{y^{6}+2y^{2}z+1}{y^{4}}+\frac{z^{6}+2z^{2}x+1}{z^{4}}\geq \frac{243}{4}$

Bài này khá dễ mà ko bác nào giải ak`

Lời giải:

$\sum \frac{x^{6}+2x^{2}y+1}{x^{4}}= \sum \left ( y+\frac{1}{x^{2}} \right )^{2}\geq \frac{1}{3}\left ( \sum x+\sum \frac{1}{x^{2}} \right )^{2}$

Ta có:

$\sum x+\sum \frac{1}{x^{2}}=\sum \left ( 8x+8x+\frac{1}{x^{2}} \right )-15\sum x\geq 12.3-15.\frac{3}{2}=\frac{27}{2}$

Từ đó suy ra đpcm

chắc là thế này

$n^{2}+3n+1=n^{2}-2n+1+5n=(n-1)^{2}+5n$ (1)

từ giả thiết suy ra$n^{2}+3n+1\vdots 5$ (2)

từ (1)và(2)$\rightarrow (n-1)^{2}\vdots 5$

$\rightarrow n-1\vdots 5(vì 5 là số nguyên tố)

\rightarrow n=5k+1(k\in N)$

$\rightarrow A=(5k+1)^{2}+3(5k+1)+1=25k^{2}+25k+5$

nếu $x\geq 2\rightarrow a\vdots 25\rightarrow 5\vdots 25$(vô lý)

suy ra x=1

suy ra n=1

100% trong de cua anh VO QUOC BA CAN

mình nghĩ là trừ 2 đi ở mỗi PT rồi phân tích

minh co sach that rui nhung tiec la ko co link cho ban

thử xem đc ko

$\sum \frac{a}{b(ac+1)}=\sum \frac{a^{2}}{ab(ac+1)}\geq \frac{(a+b +c)^{2}}{abc(a+b+c)+ab+bc+ca}$(theo bđt cauchy schwarz)

mặt khác có $1=(ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc(a+b+c)$

$\rightarrow \frac{(a+b+c)^{2}}{abc(a+b+c)+ab+bc+ca}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{\frac{(ab+bc+ca)^{2}}{3} +ab+bc+ca}=\frac{9}{4}$

dấu = xảy ra khi a=b=c=$\frac{1}{\sqrt{3}}$

thấy hay thì