sinh vien

 Tối ưu đồ thị phần 1.pdf   327.68K   623 Số lần tảibản chỉnh sửa :

 Định lý Turan và các hướng tiếp cận khác nhau trong chứng minh.pdf   246.23K   2214 Số lần tải

 Nguyên lý chồng bồ câu.pdf   423.45K   253 Số lần tải

ngày thứ nhất   imc2015-day1-solutions.pdf   195.86K   468 Số lần tải

ngày thứ hai   imc2015-day2-solutions.pdf   184.21K   293 Số lần tải

 Mong đây sẽ là những tài liệu có ích với các bạn đam mê toán học

Mình xin giới thiệu dưới đây một số bài toán tích phân một biến phức tạp + file hướng dẫn giải đính kèm.

Bài toán(AMM-11148). Tính tích phân

I=$\int_{0}^{\infty }\frac{x^{8}-4x^{6}+9x^{4}-5x^{2}+1}{x^{12}-10x^{10}+37x^{8}-42x^{6}+26x^{4}-8x^{2}+1}dx$

Đáp số: $I=\frac{\pi }{2}$

File lới giải: ( Phương pháp thặng dư trong giải tích phức )  AMM11148.pdf   77.26K   103 Số lần tải

Bài toán ( Belarus-2009) Tính tích phân

$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{cosxdx}{e^{x}+cosx-sinx}$

Đáp số:$I=\frac{1}{2}ln2$

File lời giải:( Một biến đổi đơn giản + một chút tinh tế)  2009.pdf   143.24K   119 Số lần tải

Bài toán (Asymmetry - ?) Tính các tính phân sau:

   $I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}xln(1-cosx)dx$  và $J=\int_{0}^{\infty }\frac{ln(cos^{2}x)}{1+e^{2x}}dx$

Đáp số : $I=\frac{35}{16}\zeta (3)-\frac{\pi ^{2}ln2}{8}-\pi G$, trong đó $\zeta$ kí hiệu cho hàm zeta Riemann còn G là hằng số Catalan

              $J=-\frac{(ln2)^{2}}{2}$

File lời giải: (tích phân thứ nhất có liên quan đến Khai triển chuỗi+ Lý thuyết chuỗi lượng giác  còn tích phân thứ hai có liên đề cập thêm đến chuỗi bội )

 AsymmetryV4Nov2013(Kouba).pdf   101.3K   184 Số lần tải

Mình xin bổ sung thêm một chứng minh ngắn sử dụng các kiến thức về ma trận + số phức

  Cho A,B,C đôi một giao hoán nên ở đây các tính toán trên ma trận tương tự như các tính toán đại số thông thường .

  Ta lưu ý đến đẳng thức sau: $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=(a+\varepsilon b+\varepsilon ^{2}c)(a+\varepsilon ^{2}b+\varepsilon c),\varepsilon =e^{\frac{2\pi i}{3}}$.

  Thay a, b,c bằng các ma trận A,B,C $\in M_{2}(\mathbb{R})$ta được

$det(A^{2}+B^{2}+C^{2}-AB-BC-CA)=det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)det(A+\varepsilon ^{2}B+\varepsilon C)$

        $=det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)det(\overline{A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C})=det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)\overline{det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)}$

 $=\left | det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C) \right |^{2}\geqslant 0$

Bài toán (AMM11270) Gọi $S_{n}$ là ma trận vuông cấp n có các phần tử thuộc tập $\left \{ 1,2,...,n^{2} \right \}$ .Các phần tử được sắp xếp theo hình xoắn ốc theo chiều tăng của các giá trị.

Tính $detS_{n}$.

Đáp số: $detS_{n}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}4^{n-1}\frac{3n-1}{2}\prod_{k=0}^{n-2}\left ( k+\frac{1}{2} \right )$

File lời giải:

   AMM11270.pdf   63.73K   141 Số lần tải

Tiếp theo chúng ta sẽ ôn tập lại phương pháp giá trị riêng thông qua một ví dụ nhỏ.

Bài toán ( Saint Peterburg -2007) Cho ma trận $M=(m_{ij})_{n\times n},$ trong đó $m_{ij}=\begin{cases} a_{i}a_{j} & \text{ }i\neq j \\ a_{i}^{2}+k& \text{ if } i= j \end{cases}$.

Tính detM.

Lời giải. 

Đặt: $A=\begin{pmatrix} a_{1}^{2} &a_{1} a_{2} & ... & a_{1}a_{n}\\ a_{2}a_{a} &a_{2}^{2} &... & a_{2}a_{n}\\ ...& ... &... &... \\a_{n}a_{1} &a_{n}a_{2} & ... &a_{n}^{2} \\ & & & \end{pmatrix}$

thì khi đó detM=det(A+kE), trong đó E là ma trận đơn vị cấp n.

  Dễ dàng nhận thấy rankA=1 do đó 0 là một giá trị riêng của ma trận A và có số bội là n-1 nên giá trị riêng còn lại sẽ là $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}$ nên ta suy ra đẳng thức bên dưới đây

              $det(A-\lambda E)=(-1)^{n}\lambda ^{n-1}(\lambda -(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}))$.

Thay $\lambda =-k$ ta sẽ thu được đáp án cho câu hỏi ban đầu là $k^{n-1}(k+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})$.

 Bên dưới đây là một file đề thi bằng tiếng Nga dành cho các bạn nghiên cứu thêm

   2007.pdf   172.63K   183 Số lần tải

Bài toán ( BELARUS 2006) Tất cả các hàm số $f,g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn

$\begin{cases} (f(x))^{3} -3f(x)(g(x))^{2}=cos3x& \\ 3(f(x))^{2}g(x)-(g(x))^{3}=sin3x& \end{cases}$

với mọi x.

 Đáp số : $f(x)=cos(x+j\frac{2\pi }{3})$ và $g(x)=sin(x+j\frac{2\pi }{3})$, trong đó j$\in \left \{ 0,1,2 \right \}$

  File bên dưới đây sẽ gợi ý cho các bạn cách giải quyết bài toán này. Lưu ý là ở đây ta đặt bài toán là tìm tất cả các hàm số có thể nên lời giải trong file chỉ mang tính tham khảo.

 2006-B.pdf   58.39K   103 Số lần tải

Bài toán.( Belarus 2004) Gỉa sử A,B,C,D là các ma trận vuông cấp n thỏa $AD^{T}-BC^{T}=E$ , trong đó E là ma trận đơn vị cấp n và $AB^{T}$ và $CD^{T}$ là các ma trận đối xứng.

  Chứng minh rằng : $A^{T}D-C^{T}B=E$.

  Dưới đây là file chứa lời giải ( tiếng Belarus ) các bạn chịu khó xài google dich .

 2004-A.pdf   143.08K   148 Số lần tải 

Tiếp theo là một số bài toán tính toán định thức có trên tạp chí American Mathematical ....

Bài toán ( AMM-11179) Cho các số nguyên dương i, j đặt $m_{i,j}=\left\{\begin{matrix} -1 &i+1\equiv 0(mod j) \\0 & i+1\not\equiv 0(modj) \end{matrix}\right.$.Gỉa sử $M_{n}$ là ma trận vuông cấp n-1 có phần tử (i,j) là $m_{i,j}$.

  Chứng minh rằng $det(M_{n})=\mu (n)$, trong đó $\mu$ là hàm Mobius . ( Tạp chí Epsilon)

11778  AMM11778.pdf   88.7K   108 Số lần tải

11777  AMM11777.pdf   107.26K   101 Số lần tải

11776  AMM11776.pdf   127.75K   109 Số lần tải

11775  AMM11775 solution1.pdf   109.79K   106 Số lần tải-  AMM 11775 solution2.pdf   117.15K   178 Số lần tải

11783  AMM11783.pdf   95.65K   129 Số lần tải 

11782  AMM11782 solution1 .pdf   110.96K   109 Số lần tải-  AMM 11782 solution2.pdf   118.51K   135 Số lần tải

11781  AMM11781.pdf   127.97K   142 Số lần tải

11793  AMM11793.pdf   26.65K   106 Số lần tải

11792  AMM11792.pdf   31.62K   113 Số lần tải

11791  AMM11791 solution1.pdf   31.71K   118 Số lần tải-  AMM 11791 solution2.pdf   113.76K   216 Số lần tải

11790  AMM11790.pdf   29.75K   137 Số lần tải

11789  AMM11789.pdf   32.02K   106 Số lần tải

11788  AMM11788 solution1.pdf   96.55K   173 Số lần tải-  AMM 11788 solution2.pdf   101.56K   188 Số lần tải

11787  AMM11787.pdf   128.68K   119 Số lần tải

11798   AMM11798 solution 1.pdf   31.05K   130 Số lần tải-  AMM 11798 solution2.pdf   103.93K   187 Số lần tải

11797  AMM 11797.pdf   97.5K   598 Số lần tải

11796  AMM11796 solution1.pdf   28.19K   131 Số lần tải-  AMM 11796 solution2.pdf   101.42K   172 Số lần tải

11795  AMM11795.pdf   31.62K   137 Số lần tải