lyxuansang91

Tìm số nguyên dương N sao cho :
$ \arctan \dfrac{1}{3} + \arctan \dfrac{1}{4} + \arctan \dfrac{1}{5} + \arctan \dfrac{1}{n}= \dfrac{\pi}{4} $

Như chúng ta đã biết , anh Cẩn (Tức Võ Quốc Bá Cẩn) hiện tại đang gặp một số khó khăn . Anh ấy đang dự định lập một CLB Gia sư để có thể nâng cao trí thức cho những người học và những người có ý thức tìm tòi . Để làm điều này cần có rất nhiều tâm huyết và công sức. Nhưng vì 1 số lí do gia đình mà việc này chưa thực hiện được. Mọi người cùng giúp anh ấy vượt qua khó khăn này ,mỗi người chúng ta hãy góp sức giúp đỡ anh Cẩn, cũng như giúp đỡ chính chúng ta, bạn bè của chúng ta để CLB gia sư có thể ra đời và đi vào hoạt động.

Việc ủng hộ có thể = cách gửi tiền vào địa chỉ của anh Cẩn hoặc gửi tiền vào tài khoản của anh Cẩn, mong mỗi người hãy mang trái tim nhân hậu giúp đỡ mọi người.
Mọi thông tin xin liên hệ qua nik YM của anh Cẩn(can_hang2007).

Cho $a > 1 $ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng mọi số nguyên dương khác 0 N có một bội số trong dãy $(a_n) n\geq 1; a_n= \[ \dfrac{a^n}{n} \]$

1)Phương trình Pythagore

Phương trình Pythagore có dạng :
$ x^2 + y^2 = z^2 $

Dễ thấy nếu $ (x_{0},y_{0},z_{0})$ là một nghiệm của phương trình thì với mọi số nguyên dương k bộ $ (kx_{0},ky_{0},kz_{0})$ cũng là một nghiệm. Ngược lại nếu $ (x_{0},y_{0},z_{0})$ là một nghiệm của phương trình trên và $ d =(x_{0},y_{0},z_{0}) $ thì $ (\dfrac{x_{0}}{d}, \dfrac{y_{0}}{d},\dfrac{z_{0}}{d}) $ cũng là một nghiệm và việc của chúng ta cần làm là xét bộ (x,y,z) thỏa mãn (x,y,z) = 1 .


Định lí :
Giả sử (x,y,z) là một bộ Pythagore nguyên thủy với x chẵn . Khi đó luôn tồn tại hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m,n thỏa mãn :
$ x = 2mn , y = m^2 - n^2 , z = m^2 + n^2 $

Ngược lại, nếu tồn tại hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m,n sao cho :
$ x = 2mn, y = m^2 - n^2 z = m^2 + n^2 $
thì (x,y,z) là một bộ Pythagore nguyên thủy .


Chứng Minh:

Giả sử (x,y,z) là một bộ Pythagore nguyên thủy với x chẵn , ta có :
$ \dfrac{x}{2}^2 = (\dfrac{z+y}{2})(\dfrac{z-y}{2}) $
Vì (z,y) = 1 nên $ (\dfrac{z+y}{2},\dfrac{z-y}{2})=1$

Do đó tồn tại 2 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m,n, sao cho :
$ \dfrac{z+y}{2} = m^2; \dfrac{z-y}{2} = n^2$
Từ đó suy ra $ x = 2mn , y= m^2 - n^2 , z = m^2 + n^2$

Ngược lại , nếu tồn tại hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau m,n sao cho :
$ x = 2mn; y = m^2- n^2 ; z= m^2 + n^2$ thì dễ dàng KT (x,y,z) là một bộ Pythagore. Cần chứng minh (x,y,z) là bộ Pythagore nguyên thủy .Đặt (y,z) = d vì y,z là số lẻ nên d lẻ.Mặt khác :
$ y + z = 2m^2 \vdots d; z-y = 2n^2 \vdots d $

$ \Rightarrow m^2 \vdots d ; n^2 \vdots d $ . Vì (m,n) =1 nên d = 1 tức là (y,z)= 1 . Từ đó suy ra (x,y) =1 và (x,z) = 1. Điều phải chứng minh

Trung thu ở ngoài tuy trời mưa nhưng vẫn là Trung thu thế còn Trung Thu ở diễn đàn toán học thì sao nhỉ mọi ngừoi vào thảo luận phát nào