ZzNightWalkerZz

Giải bài toán gốc trước

Đặt

$f(a,b,c)=\sum a^2 . \sum \frac{1}{(a-b)^2} $

Ta thấy $f(a,b,c) \geq f(a-c,b-c;0)$

Do đó, ta chỉ cần tìm min trong TH $c=0$

Thay vào, tìm được min P

Còn bài toán đầu thì chỉ cần AM-GM là ra lại bài toán gốc

quan trọng là dấu bằng nên không AM-GM để ra bài toán gốc được

Dù sao lời giải cho bài toán gốc của bạn là đúng rồi

a) Nếu $p$ nguyên tố thì suy ra $x,y\vdots p=>1+x+y\not\vdots p$

b) Nếu $p$ là hợp số. Gọi $k$ là ước nguyên tố của $p$ 

Theo a) thì $x,y\vdots k=>x+y+1\not \vdots k=>x+y+1\not \vdots p$

Vậy....

Đặt $P(n)=n+1)(n+2)(n+3)......(n+n)$
Ta có $P(1)=2\vdots 2^1$ (đúng).Giả sử $P(n)\vdots 2^n$ với mọi $n$ là số tự nhiên
Lại có: $P(n+1)=P(n).2\vdots 2^n.2=2^{n+1}$
Vậy theo nguyên lí qui nạp ta có đpcm

Ở dòng thứ 3 phải là : $P(n+1)=P(n).2(2n+1)$ 

Áp dụng AM-GM ta có $4=x^2+y^2-xy \geq x^2+y^2- \frac{x^2+y^2}{2}=\frac{x^2+y^2}{2}$

Suy ra $8 \geq x^2+y^2$

Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=-2$ hoặc $x=y=2$

Spoiler

Bài này còn có thể tìm Min nữa đấy   

Chỉ đơn giản là : $-xy\leq \frac{x^2+y^2}{2}$

n = 0 chọn k = ... 

n = 1 chọn k = ...

n > 1 chọn k >1 khi đó : $2^nk+1>3$ 

Do đó ta chỉ cần chọn k để số này chia hết cho 3 là được. 

Rõ ràng là ta có thể chọn được ( bạn tự giải nốt nhá )

Đề bài nói là với 1 giá trị của $k$ thì thỏa mãn tất cả giá trị của $n$ chứ, như trên thì là đối với từng $n$