Tìm kiếm
Bí mật
Bài 3:
a. Đặt $n=p_1^{\alpha _1}p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}$, trong đó $p_1,p_2,...,p_k$ là các số nguyên tố đôi một khác nhau. Giả sử $n$ có ước số là số chính phương, do đó tồn tại $\alpha _i \geq 2\left( 1\leq i\leq k \right )$, giả sử đó là $\alpha _1$
Ta có $\varphi \left ( n \right )=n\prod_{p|n}\left ( 1-\frac{1}{p} \right )\Rightarrow \left (p_1-1 \right )|n$
Vì $n|\sum_{i=2}^{n}i^{\varphi \left ( n \right ) }\Rightarrow p_1|\sum_{i=2}^{n}i^{\varphi \left ( n \right ) }$. Từ $2$ đến $n$ có $p_1^{\alpha _1-1}p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}$ số chia hết cho $p_1$ và $n-1-p_1^{\alpha _1-1}p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}$ số nguyên tố cùng nhau với $p_1$.
Theo định lý Fermat nhỏ, ta có $\sum_{i=2}^{n}i^{\varphi \left ( n \right )}\equiv n-1-p_1^{\alpha _1-1}p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}\equiv 0\left ( modp_1 \right )\Rightarrow 1\equiv 0\left ( mod p_1 \right )$(vô lý). Do đó giả sử sai ta có đpcm.
b. Theo câu a, $n$ có dạng phân tích chuẩn mực là $p_1p_2...p_k$ trong đó $p_i$ là các số nguyên tố khác nhau.
Chứng minh tương tự câu a, ta có được $p_i|n-\frac{n}{p_i}-1\left ( 1\leq i\leq k \right )$
Từ đây thay $k=1,2,3$ ta giải đươc $n=2,6$
bài của bạn thiếu nghiệm 42=2.3.7 rồi
