Phan Tien Ngoc

Cái chỗ AM suy rộng là sao vậy bạn? Bạn giải thích rõ hơn dược ko?

theo mình thì k phải là AM-GM suy rộng chỉ là áp dụng AM-GM cho 2n số thực dương mà thôi

Câu 1:

giả thiết tương đương $\sum \frac{1}{a}=\frac{3}{2}$

$\frac{a^2}{\sqrt{a^3+1}+1}\geq \frac{2a^2}{a^2+4}=2-\frac{8}{a^2+4}$

ta chứng minh $\sum \frac{8}{a^2+4}\leq 3$,do 

$\frac{8}{a^2+4}\leq \frac{8}{4a}=\frac{2}{a}\rightarrow \sum \frac{8}{a^2+4}\leq 2\sum \frac{1}{a}=3$

suy ra đpcm

Câu này là đề Quảng trị kiểm tra đinh kì phải k.

Câu 2

$\frac{1}{ab+2c^2+2c}=\frac{1}{ab+2c^2+2c(a+b+c)}=\frac{1}{(2c+a)(2c+b)}$

ta chứng minh $\frac{1}{(2c+a)(2c+b)}\geq \frac{ab}{(\sum ab)^2}\Leftrightarrow ab(2c+a)(2c+b)\leq (\sum ab)^2\Leftrightarrow (bc-ca)^2\geq 0$(đúng) 

suy ra đpcm

Câu 3 

từ giả thiết ,ta có

$xy+yz+xz+2xyz=1$ (1) với $x=\frac{1}{m}$,tương tự với $y,z$

Do $(1)\rightarrow \exists a,b,c (>0)$ thõa 

$x=\frac{a}{b+c},y=\frac{b}{c+a};z=\frac{c}{a+b}$

suy ra BĐT cần chứng minh $\sum \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{(\frac{b+c}{a})^3+1}}\geq 1$

ta có  $\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{(\frac{b+c}{a})^3+1}}\geq \frac{1}{1+\frac{1}{2}(\frac{b+c}{a})^2}\geq \frac{1}{1+\frac{b^2+c^2}{a^2}}=\frac{a^2}{b^2+a^2+c^2}$

suy ra $\sum \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{(\frac{b+c}{a})^3+1}}\geq 1$

ta có đpcm

Cho đề câu 3 a,b,c thành m,n,p nhé ,ghi bị lộn

Bài 8 : Hãy tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ thõa hệ thức 

$(x+y)(1+xy)=2^z$

Bài toán 3 : Tìm tất cả nghiệm nguyên dương của phương trình 

$x^y+y^z+z^x=2(x+y+z)$

Bài toán 2 : Tìm mọi cặp số nguyên dương x , y sao cho $\frac{x^4+2}{x^2y+1}$ là số nguyên dương .

$\exists$ 1 số nằm giữa ,giả sử đó là b . ta có

$(b-a)(b-c)\leq 0$.$ab^2+bc^2+ca^2-abc=a(b-a)(b-c)+b(c^2+a^2)\leq b(c^2+a^2)$.đến đây chỉ cần đánh giá $b(c^2+a^2)$ $\leq 2$ = cách đưa vào trong căn rồi cosi thôi .

Gõ căn nhác quá nên thôi

câu PTH :$P(1,x-2f(1))\Leftrightarrow f(f(x-2f(1))-f(1))=x$ suy ra f:toàn ánh .tiếp ta giả sử $f(m)=f(n)=q,P(1,m)=P(1,n)\Leftrightarrow m=n$ suy ra nó song ánh 

$\exists u ,f(u)=0$.$P(u,0)\rightarrow f(ua)=f(u)$ với $f(0)=a\rightarrow a=1$ hoặc $u=0$.xét u=0 ,$P(x,0)\rightarrow f(x)=-2x$ ( thay vào k thõa ) và có được do dùng tính chất toàn ánh

xét a=1 ,$P(u,u)\rightarrow u=1;-1$.xét u=-1,$P(x;-1)\rightarrow f(-f(x))=2f(x)-x,P(-1;x)\rightarrow f(-f(x))=-x\rightarrow f(x)=0$ ( k thõa ) suy ra u=1

$P(1,x)\rightarrow f(f(x))=x,P(0,1)\rightarrow f(-1)=2;P(x;f(-1))\rightarrow f(-x-f(x))=2(f(x)+x)$.ta có 

 $\exists v ,f(v)=x+f(x)\rightarrow f(-f(v))=2f(v),P(v,1)\rightarrow f(-f(v))=2f(v)+v\rightarrow v=0\rightarrow f(x)=1-x$ (thử lại thõa)

ý tưởng .Ta có thể chia hình vuông 9.9 thành các hình vuông nhỏ 3.3 và ta quan tâm số ô vuông k được tô màu nhiều nhất sẽ là bao nhiêu trong 1 ô đó .Xét 1 hình vuông 3 .3 nằm phía góc của hình 9.9 .Ta chỉ được phép k tô 1 ô trong hình 2.2 nên ta sẽ k tô vào ô k thuộc giao của các hình vuông kề với hình vuông 2.2 có đỉnh nằm phía góc của ô 3.3 đang xét .Ta chứng minh cách tô này sẽ dẫn đến số ô không được tô là lớn nhất : 

Ta k thể  k tô hình vuông là trọng tâm của 1 hình 3.3 vì nó là giao của 4 hình vuông ,lúc này nó sẽ tạo ra cách để tô các ô 2.2 sao cho cách tô là lớn nhất ,trái với đề bài 

Vị trí 2 ô còn lại của 2 ô kia là tương đương nhau nên ta chỉ xét 1 ô trong 2 ô đó ,lúc này ô nằm ở vị trí (chẵn,lẻ ) or (lẻ,chẵn ) .Khi tô như vậy hàng or cột (2 ô vuông ) phải được tô nên ta phải k tô ô hoặc hàng (2 ô ) tiếp theo để thõa nó nhỏ nhất ,lúc này số ô k tô ở vị trí (chẵn ,lẻ) hay (lẽ ,chẵn ) sẽ tô chưa được ít nhất vì .xét hình vuông (2k+1).(2k+1) số vị trí chẵn của hàng hay cột đều nhỏ hơn vị trí lẽ .

nên cuối cùng ta sẽ tô như cách ở trên = cách k tô ô vuông ở vị trí lẽ lẽ .lúc này số ô vuông k được tô lớn nhất và $=(\left [ \frac{9}{2} \right ]+1)^2=25$.vậy cần tô ít nhất $81-25=56$ ô. .thật ra có thể áp dụng cho hình vuông  2k+1 . 2k+1 đều giống nhau

giải hệ : 

$x^2+\sqrt{x+\sqrt{1-x}}+1=3x+2\sqrt{(1-x)^3}$

biến đổi $\frac{(3x-1)^{2}}{2x^2+1}=\frac{9}{2}-\frac{12x+7}{4x^2+2}$ . Ta đi chứng minh $\sum \frac{12x+7}{4x^2+2}\leq \frac{19}{2}$ .đặt $f(x)=\frac{12x+7}{4x^2+2}\rightarrow f''(x)< 0$ (tự kiểm tra ) suy ra $f(x)$ lõm trên R+ .Áp dụng BĐT jensen ta có 

$f(x)+f(y)+f(z)\leq 3f(\frac{x+y+z}{3})$.xét $f(\frac{x+y+z}{3})=\frac{36t+63}{4t^2+18}$ với $t=x+y+z$ .

 $\frac{36t+63}{4t^2+18}\leq \frac{19}{6}\Leftrightarrow (76t+12)(t-3)\geq 0$ (đúng ) do $t\geq 3$.suy ra 

$\sum f(x)\leq 3f(\frac{x+y+z}{3})\leq \frac{19}{2}\rightarrow A\geq 3.\frac{9}{2}-\frac{19}{2}=4$.

Vậy min$A=4$ .

cách này có vẻ ràng buộc quá ,chả hay gì ,thấy hơi sai sai vì đoán trước giá trị ,nếu giá trị sai chắc dùng dồn biến sẽ sát hơn .nhưng dài .Kiểm tra giúp ạ

Cho $a_1=2 ; a_{n+1}=2a_n^2-1$ . Chứng minh rằng $(a_n;n)=1$

CMR với các số dg a,b,c có tổng bằng 3, thì 

$\frac{a(a-2b+c)}{ab+1}+\frac{b(b-2c+a)}{bc+1}+\frac{c(c-2a+b)}{ca+1}\geq 0$.

Cho dãy số xác định bởi 

$\left\{\begin{matrix}x_{1}=1,&x_{2}=2 & \\ x_{n}= -3x_{n-1}+2x_{n-2}+n^{3}+2n+4 & & (n \epsilon N,n\geq 3) \end{matrix}\right.$

1/ Tính tổng ước chẵn của số 11269608
2/ Tính giá trị của biểu thức C = 6,3(01) + 6,3(03) + 6,3(05) + 6,3(07) + … + 6,3(77)

Với $a,b,c \geq 0$ và không có hai số nào bằng nhau. Chứng minh rằng

$\frac{a^{3}(b-c)+b^{3}(c-a)+c^{3}(a-b)}{a^{2}(b-c)+b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b)}\geq 3\sqrt[3]{abc}.$