Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Nhok Tung

Đăng ký: 25-04-2015
Offline Đăng nhập: 21-01-2019 - 22:15
***--

#647159 $CMR : \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} +...

Gửi bởi Nhok Tung trong 30-07-2016 - 10:14

Dấu $\leq$ thì BĐT đúng, còn $\geq$ thì với x =1 y =2 BĐT sai  :D




#635619 $(a+b+c)^{5}\geq 81abc(a^{2}+b^{2}+c^...

Gửi bởi Nhok Tung trong 25-05-2016 - 23:18

Tiếp theo là 1 bài tương tự như bài này :

CMR với a,b,c>0 ,abc=1,ta có:

 

$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$

Thực chất 2 bài là 1 thôi  :D




#635618 $(a+b+c)^{5}\geq 81abc(a^{2}+b^{2}+c^...

Gửi bởi Nhok Tung trong 25-05-2016 - 23:16

CMR với mọi a,b,c dương ta có:

$(a+b+c)^{5}\geq 81abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Ta có bđt phụ : $3abc\leq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{a+b+c}$

Do đó VP $\leq$  $\frac{27(ab+bc+ca)^{2}}{a+b+c}(a^{2}+b^{2}+c^{2}) =\frac{27}{a+b+c}.(ab+bc+ca)(ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq      \frac{27}{a+b+c}.\frac{[a^{2}+b^{}+c^{2}+2(ab+bc+ca)]^{3}}{27} =\frac{27}{a+b+c}.\frac{(a+b+c)^{6}}{27}=(a+b+c)^{5}$

=> đpcm




#635587 $\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\s...

Gửi bởi Nhok Tung trong 25-05-2016 - 22:23

Bài 1: Cho a,b,c > 0 và ab+bc+ac > 0

Chứng minh: $\sqrt{\frac{1+a^{2}}{b+c}}+\sqrt{\frac{1+b^{2}}{a+c}}+\sqrt{\frac{1+c^{2}}{a+b}}\geq 3$

$\sum \sqrt{\frac{1+a^{2}}{b+c}}\geq 3\sqrt[6]{\prod \frac{1+a^{2}}{b+c}}$

cần chứng minh $\prod (1+a^{2})\geq \prod (a+b)$

Ta có : $(1+a^{2})(1+b^{2})\geq (a+b)^{2}$

thiết lập tương tự rồi nhân vế theo vế các bđt, ta có đpcm

Ở đây a,b,c >0 thì ab+bc+ca >0 rồi  :D  :D  :D




#635581 $\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\s...

Gửi bởi Nhok Tung trong 25-05-2016 - 22:17

Bài 2: cho a+b+c = 3

chứng minh  $\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{b+ac}}\geq 3$

Áp dụng BĐT AM-GM :

$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3\sqrt[6]{\prod \frac{a+b}{c+ab}}$

Cần chứng minh $(a+b)(b+c)(c+a)\geq (c+ab)(b+ac)(a+bc)$

Ta có :

$(c+ab)(a+bc)(b+ca)\leq \frac{1}{8}(a+b)(b+c)(c+a)(1+a)(1+b)(1+c) \leq \frac{1}{8}(a+b)(b+c)(c+a)\frac{1}{27}(1+1+1+a+b+c)^{3}=(a+b)(b+c)(c+a)$

-> đpcm




#631970 $\frac{x^{m}}{y^{n}}+\...

Gửi bởi Nhok Tung trong 08-05-2016 - 17:26

Cho x,y,z > 0, xyz=1. Chứng minh :$\frac{x^{m}}{y^{n}}+\frac{y^{m}}{z^{n}}+\frac{z^{m}}{x^{n}}\geq x+y+z$




#630554 P=$\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}+\sqrt{\frac{...

Gửi bởi Nhok Tung trong 01-05-2016 - 16:53

cho a,b,c >0. cmr

P=$\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}+\sqrt{\frac{b^{3}}{b^{3}+(a+c)^{3}}}+\sqrt{\frac{c^{3}}{c^{3}+(b+a)^{3}}}\geq 1$

$\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left ( \frac{b+c}{a} \right )^{3}}}=\frac{1}{\sqrt{(1+\frac{b+c}{a})[(\frac{b+c}{a})^{2}-\frac{b+c}{a}+1]}}\geq \frac{2}{(\frac{b+c}{a})^{2}+2}=\frac{2a^{2}}{(b+c)^{2}+2a^{2}}\geq \frac{2a^{2}}{2(b^{2}+c^{2})+2a^{2}}=\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Tương tự : $\sqrt{\frac{b^{3}}{b^{3}+(c+a)^{3}}}\geq \frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

$\sqrt{\frac{c^{3}}{c^{3}+(a+b)^{3}}}\geq \frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Cộng vế theo vế các BĐT trên ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c




#630474 Tìm GTNN của $P=\frac{bc}{a}+\frac{ca...

Gửi bởi Nhok Tung trong 01-05-2016 - 07:18

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTNN của $P=\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}$

đặt $\frac{ab}{c}=x,\frac{bc}{a}=y,\frac{ca}{b}=z$

Ta có xy+yz+xz=1

P = x + y + z $\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}$=$\sqrt{3}$




#630429 Tính : $ L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{...

Gửi bởi Nhok Tung trong 30-04-2016 - 21:57

Tính : $ L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}}{x} $

$L=\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}-\frac{\sqrt[3]{1+3x}-1}{x} \right ) =\lim_{x\rightarrow 0}\left [ \frac{2}{\sqrt{1+2x}+1}-\frac{3}{\sqrt[3]{(1+3x)^{2}}+\sqrt[3]{1+3x}+1} \right ]=1-1=0$




#629685 $\frac{1}{a+b+4}+\frac{1}{b...

Gửi bởi Nhok Tung trong 26-04-2016 - 17:06

Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn$abc=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a+b+4}+\frac{1}{b+c+4}+\frac{1}{c+a+4}\le \frac{1}{2}$

Ta có $\frac{1}{a+b+4}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2} \right )$

Do đó VT $\leq \frac{1}{2}\sum \frac{1}{a+2}$

Ta chứng minh $\sum \frac{1}{a+2}\leq 1$

Biến đổi tương đương ta được $ab+bc+ca\geq 3$ ( đúng theo AM-GM)

Vậy BĐT được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1




#629683 Có bao nhiêu tam giác tạo thành từ 8 đỉnh của đa giác 8 cạnh đều mà không có...

Gửi bởi Nhok Tung trong 26-04-2016 - 16:52

Có bao nhiêu tam giác tạo thành từ 8 đỉnh của đa giác 8 cạnh đều mà không có cạnh nào là cạnh của bát giác ấy.

Tổng quát của bài này :

Cho đa giác đều n cạnh, số đa giác có k cạnh ( k < n) nhận đỉnh là đỉnh của đa giác n cạnh sao cho không có cạnh nào là cạnh của đa giác này

$\frac{n}{k}C_{n-k-1}^{k-1}$




#629537 $\sum \frac{1}{(a+b)^{2}}\g...

Gửi bởi Nhok Tung trong 25-04-2016 - 19:05

Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng :

$\sum \frac{1}{(a+b)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^{2}}{4(ab+bc+ca)^{3}}$




#627825 $\frac{a}{b^{3}+ab}+\frac{b...

Gửi bởi Nhok Tung trong 17-04-2016 - 20:53

$\sum \frac{a}{b^{3}+ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\sum \frac{b}{a+b^{2}}\geq \sum \frac{1}{a}-\frac{1}{2}\sum \frac{1}{\sqrt{a}}\geq \frac{(\sum \frac{1}{\sqrt{a}})^{2}}{3}-\frac{1}{2}\sum \frac{1}{\sqrt{a}}$

Đặt $t=\sum \frac{1}{^{\sqrt{a}}}\geq 3$

Ta chứng minh $\frac{t^{2}}{3}-\frac{t}{2}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow (t-3)(2t+3)\geq 0$ (TRUE)

BĐT đc chứng minh




#627796 CMR: $\sum \frac{a^3}{b^2+3}\geq \frac{3}{4}$

Gửi bởi Nhok Tung trong 17-04-2016 - 19:54

Cho $3$ số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. CMR:

$$\frac{a^3}{b^2+3}+\frac{b^3}{c^2+3}+\frac{c^3}{a^+3}\geq \frac{3}{2}$$                                

$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+3}=\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+ab+bc+ca}=\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(b+c)}$

Áp dụng BĐT AM-GM :

$\frac{a^{3}}{(b+a)(b+c)}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+a}{8}\geq \frac{3a}{4}$

Tương tự. Cộng vế theo vế các BĐT ta được :

$\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(b+c)}\geq \frac{a+b+c}{4}\geq \frac{\sqrt{3(ab+bc+ca)}}{4}=\frac{3}{4}$

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1

Bạn này gõ tiêu đề là 3/4 mà đề lại ghi 3/2  :D




#627777 $\sum \frac{1}{1+ab}\geq \frac...

Gửi bởi Nhok Tung trong 17-04-2016 - 18:03

1. Cho $a,b,c\geq 0,a+b+c=3$. Chứng minh :

$ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc\leq 4$

2. Cho a,b,c > 0, a+b+c = 3. Chứng minh :

$\sum \frac{1}{1+ab}\geq \frac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$