Nhok Tung

Bạn xem tại đây : http://diendantoanho...rac32/?p=552669

2. $4a+\frac{1}{a}=4a+\frac{1}{4a}+\frac{3}{4a}\geq 2+\frac{3}{4.\frac{1}{4}}=5$

Giải phương trình $\frac{2x+3}{x^{2}-4}=\sqrt{x+1}$

1. Ta có $\sum \frac{a^{2}}{a+b^{2}}=\sum a-\sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\geq 3-\frac{1}{2}\sum \sqrt{a}b$

Cần cm $\sum \sqrt{a}b\leq 3$

Ta có $(\sqrt{a}b+\sqrt{b}c+\sqrt{c}a)^{2}\leq (ab+bc+ca)(a+b+c)\leq 9\Leftrightarrow \sum \sqrt{a}b\leq 3$

=> đpcm

b) Đặt $\sqrt[3]{x^{2}-2}$=y, ta có $y^{3}=x^{2}-2$ và $y^{2}=2-x^{3}$

Đây là hệ PT đối xứng

b) Thay a =b=c =0,5 thì BĐT sai    

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh

a) $\sqrt[3]{4(a^3+b^3)}+\sqrt[3]{4(b^3+c^3)}+\sqrt[3]{4(c^3+a^3)}\geq 2(a+b+c)$

b) $\frac{5b^2-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^2-b^3}{cb+3c^2}+\frac{5a^2-c^3}{ac+3a^2}\leq a+b+c$

a) Ta có $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)\geq (a+b)^{3}-\frac{3(a+b)^{3}}{4}=\frac{(a+b)^{3}}{4}\Rightarrow 4(a^{3}+b^{3})\geq (a+b)^{3}\Rightarrow$\sqrt[3]{4(a^{3}+b^{3})}\geq a+b$

Tương tự rồi cộng vế theo vế của các BĐT ta được đpcm

ta có $(\frac{a}{b+c})^3+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3a}{4b+4c}$

tương tự vs 2 cái còn lại cộng vế theo vế ta có

$\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$

đến đây dễ rồi

Đề là $\sum (\frac{a}{a+b})^{3}$ mà

$1)$ Cho ba số thực dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng

$\sum \frac{a}{bc(c+a)} \geq \frac{27}{2(a+b+c)}$

$2)$ Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\sum ab = 1$

Chứng minh rằng : $\sum \frac{a}{(3a+5b)^{3}} \geq \frac{9}{512}$

câu 1 thay a = b =c = 1 vào thì BĐT sai    

phải là $\sum \frac{a}{bc(c+a)}\geq \frac{27}{2(a+b+c)^{2}}$ thì phải

Áp dụng BĐT AM-GM

$a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}=a\sqrt{1(b-1)}+b\sqrt{1(a-1)}\leq \frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}=ab$

BĐT $\Leftrightarrow ab(a^{2}+b^{2})+2\geq 2(a^{2}+b^{2})\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2})(ab-2)+2\geq 0$ (*)

Ta cm (*)

$(a^{2}+b^{2})(ab-2)+2\geq 2ab(ab-2)+2=2(ab-1)^{2}\geq 0$

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = 1

ĐK x $\geq -1$ 

PT $\Leftrightarrow \sqrt{22(2x+1)^{2}+14(x+1)}=2[2(2x+1)+\sqrt{x+1}]$

Đặt a = 2x+1, b = $\sqrt{x+1}$ ( b$\geq$0)

Ta có : $\sqrt{22a^{2}+14b^{2}}=2(2a+b)$ $\Leftrightarrow 3a^{2}-8ab+5b^{2}=0\Leftrightarrow (a-b)(3a-5b)=0$

Đến đây rõ rồi     

Do 0 < x+y < 1 nên 1 - x, 1 - y >0. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :

P $\geq$ $\frac{(x+y)^{2}}{2-(x+y)}+\frac{1}{x+y}+x+y$

Đặt x + y = t ( 0 < t <1) ta có P $\geq \frac{t^{2}}{2-t}+t+\frac{1}{t}=\frac{2t}{2-t}+\frac{2-t}{2t}+\frac{1}{2}\geq 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$

Vậy Min P = $\frac{5}{2}\Leftrightarrow t=x+y=\frac{2}{3}$

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}=\sum \frac{a}{\sqrt{b+c+d}.\sqrt{a}}\geq \sum \frac{2a}{a+b+c+d}=2$

Bài 1 : Cho a;b;c lớn hơn hoặc bằng 0 . CMR : $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}} \geqslant 2$ với $(b+c+d)(a+c+d)(a+b+d)(a+b+c)> 0$

Bài 2 : Cho x;y > 0 ; $x+y\leqslant 1$ . CMR : $(1-\frac{1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}})\geqslant 9$

Ta có : $(1-\frac{1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}})=(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})(1-\frac{1}{x})(1-\frac{1}{y})=(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy})(1-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{xy})\geq [1+\frac{4}{x+y}+\frac{4}{(x+y)^{2}}][1-\frac{x+y}{xy}+\frac{1}{xy}]\geq (1+4+4)(1-\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy})=9$