Nhok Tung

Giải phương trình : $\frac{2-x}{4}=\sqrt{2x-3}-\sqrt[3]{x-1}$

Giải phương trình $5(1+\sqrt{1+x^{3}})=x^{2}(4x^{2}-25x+18)$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có : $a^{3}+a^{3}+1\geq 3a^{2}$

Tương tự với các BĐT còn lại. Cộng vế theo vế được $2\sum a^{3}+3\geq 3\sum a^{2}=9\Rightarrow \sum a^{3}\geq 3$   (1)

Có $(a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=9\Rightarrow a+b+c\leq 3$   (2)

Từ (1) và  (2) suy ra đpcm

Cho a,b > 0 thỏa $(a+b)^{3}+4ab\leq 12$. Chứng minh $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$

Cho a,b,c > 0. Chứng minh $\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

Cần CM $\frac{a+b+c+21}{4}\leq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \Leftrightarrow a+b+c+21\leq 8(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Mà ta có : 7(a²+b²+c²) $\geq 7(ab+bc+ca)\geq 21$   (1)

Lại có $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq (ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq a+b+c$                                                                          (2)

Từ (1) và (2) suy ra 8(a²+b²+c²) $\geq$a+b+c+21 => Đpcm

Cho a, b > 0 thỏa mãn $a^{2}+b^{2}=4$. Tìm GTLN của P = $\frac{ab}{a+b+2}$

Cho a,b >0. Chứng minh $(a+b)\left ( \frac{1}{\sqrt{a^{2}+3b^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{b^{2}+3a^{2}}} \right)\leq 2$

Cho a,b,c > thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$. Chứng minh $\sum \frac{a^{2}}{a+bc}\geq \frac{a+b+c}{4}$

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn a+b+c=2. Tìm GTNN của $P=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{ab+bc+ca}{2}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Chứng minh phương trình $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2010}$ luôn hữu hạn nghiệm tự nhiên.

Chứng minh rằng nếu phương trình $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0$ có nghiệm thì : $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{4}{3}$

$(2)\Leftrightarrow (y-5x-4)(y+x-4)=0\Leftrightarrow y=5x+4 hoặc y=4-x$, thay vào (1)

$x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=(x-y)[4(x-y)^{2}-15]\leq 3(4.3^{2}-15)=63$

Cho a,b,c không âm, thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh $\left ( a-1 \right )^{3}+\left ( b-1 \right )^{3}+\left ( c-1 \right )^{3}\geq -\frac{3}{4}$