Nhok Tung

Bài 2:

1. Giả sử a, b đều không chia hết cho 3, khi đó $a^{2},b^{2}\equiv 1(mod 3)\rightarrow ab\equiv 2(mod3)$

Do a, b bình đẳng nên có thể giả sử a = 3k + 2, b = 3p + 1 (k, p $\epsilon$ N).

Thay vào pt ban đầu ta được $[(3k+2)^{2}-(3k+2)(3p+1)+(3p+1)^{2}]\vdots 9 \Leftrightarrow (9k+3) \vdots 9$ (Vô lí)

Vậy ta có đpcm.

2. Do $9^{n}+11$ không chia hết cho 3, mà tích của k số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho k nên $k\leq 2$ => k = 2

Giả sử $(9^{n}+11)=m(m+1)\Leftrightarrow m^{2}+m-(9^{n}+11)=0$

$\Delta =1+4(9^{n}+11)=(2.3^{n})^{2}+45=t^{2}\rightarrow (t-2.3^{n})(t+2.3^{n})=45=1.45=3.15=5.9$

Đến đây tìm được n = 1 thỏa mãn đề bài.

$x^3-\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{x+6}}=6$

Đặt $\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{x^{3}+6}}=y, \sqrt[3]{x^{3}+6}=z$, ta có:

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-6=y\\ y^{3}-6=z\\ z^{3}-6=x\end{matrix}\right.$

Xét $f(x)=x^{3}-6,f'(x)=3x^{2}\geq 0$

Giả sử $x\geq y\geq z\Rightarrow f(x)\geq f(y)\Leftrightarrow f(f(z))\geq f(f(x))\Leftrightarrow z\geq x!$

Suy ra $x=y=z\Rightarrow x^{3}-x-6=0\Leftrightarrow x=2.$

Thử lại, t/m

$2x^2+(14-2\sqrt{x^2+8x})x+8x-14\sqrt{x^2+8x}+24=0$

$PT\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}+8x}-3)(\sqrt{x^{2}+8x}-x-4)=0 \Leftrightarrow ...$

Bất đẳng thức trên theo mình thì là không chính xác. Vì $\frac{3}{4} a^{2}+ab+b^{2} \geq (a+b)^{2}$ chứ không phải là $\frac{3}{4} a^{2}+ab+b^{2} \leq (a+b)^{2}$. Nên bđt chứa 2 tích ngược chiều nhau. Nên ko thể giải bđt này bằng AM-GM 

Thế này nhé bạn

Áp dụng bđt $4xy\leq (x+y)^{2}$

$4(a^{2}+ab+b^{2})(ab+bc+ca)\leq (a^{2}+2ab+b^{2}+bc+ca)^{2}=(a+b)^{2}(a+b+c)^{2}$

Cho $S_{n}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\left ( 2+\frac{2^{2}}{2}+\frac{2^{3}}{3}+...+\frac{2^{n}}{n} \right )$

Tìm lim S_n

Sao chứng minh được chỗ chữ đỏ vậy?

BĐT Bunyakovsky đó ạ

Tính $lim(n.\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}+n+1}.\sqrt[3]{n^{3}+n})$

$lim(n.\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}+n+1}.\sqrt[3]{n^{3}+n})$ 

=$\lim n[\sqrt{n^{2}+n}-(n+\frac{1}{2})]}

-\sqrt[3]{n^{3}+n}[\sqrt{n^{2}+n+1}-(n+\frac{1}{2})]

-(n+\frac{1}{2})(\sqrt[3]{n^{3}+n}-n)$

= $\lim\left [ \frac{-0,25n}{\sqrt{n^{2}+n}+n+0,5}-\frac{0,75\sqrt[3]{n^{3}+n}}{\sqrt{n^{2}+n+1}+n+0,5}-\frac{n^{2}+0,5n}{\sqrt[3]{(n^{3}+n)^{2}}+n\sqrt[3]{n^{3}+n}+n^{2}} \right ]$

= $\frac{-0,25}{2}-\frac{0,75}{2}-\frac{1}{3}=\frac{-5}{6}$

Cho $x,y,z>0$. CM

$4(xy+yz+zx)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$

Ta có BĐT quen thuộc $(xy+yz+xz)(x+y+z)\leq \frac{9}{8}(x+y)(y+z)(z+x)$

Do đó $4(xy+yz+xz)\leq \frac{9(x+y)(y+z)(z+x)}{2(x+y+z)}$

Ta chứng minh $\frac{9(x+y)(y+z)(z+x)}{2(x+y+z)}$ $\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}) \Leftrightarrow 9\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq (x+y+y+z+z+x)(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$ (Luôn đúng theo BĐT AM-GM)

Từ đó suy ra đpcm

Cho x, y, z >0 thỏa mãn: x+y+z=3

Tìm max A= $\sum \sqrt{ \frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}$

$\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}=\frac{x\sqrt{y+2}}{\sqrt{(x^{2}+y+z^{2})(1+y+1)}}\leq \frac{x\sqrt{y+2}}{x+y+z}$

Do đó $\sum \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}\leq \frac{\sum x\sqrt{y+2}}{x+y+z} =\frac{\sum x\sqrt{y+2}}{3}$

Ta chứng minh $\sum x\sqrt{y+2}\leq 3\sqrt{3}$ (*)

Ta có $x\sqrt{y+2}=\frac{1}{\sqrt{3}}x\sqrt{y+2}\sqrt{3}\leq \frac{xy+5x}{2\sqrt{3}}$ (Theo BĐT AM-GM)

Cộng vế theo vế, kết hợp với $\sum xy\leq \frac{\sum x}{3}=3$ suy ra (*) được chứng minh

Từ đó suy ra $\sum \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}$ $\leq \sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Cho a,b,c là 3 hằng số, $\left ( U_{n} \right )$ xác định: $U_{n}= a.\sqrt{n+1} + b.\sqrt{n+2} + c.\sqrt{n+3} \forall n\geq 1$

CMR: $limU_{n}=0\Leftrightarrow a+b+c=0$

$\frac{U_{n}}{\sqrt{n+1}}=a+b\frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}}+c\frac{\sqrt{n+3}}{\sqrt{n+1}}$

Do đó nếu $limUn=0\Rightarrow lim(a+b\frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}}+c\frac{\sqrt{n+3}}{\sqrt{n+1}})=0\Rightarrow a+b+c=0$

Ngược lại, nếu a + b+ c = 0 => a = -b - c

$U_{n}=b(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})+c(\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}) =\frac{b}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}+\frac{2c}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}} \Rightarrow LimU_{n}=0$

giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x+y+z=\frac{3}{xyz} & \\\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} = 3 & \end{matrix}\right.$

ĐK x,y,x >0

Từ (PT1) ta có :

$3=xyz(x+y+z)\Leftrightarrow 81=3\sqrt{xy}.3\sqrt{yz}.3\sqrt{xz}(x+y+z)\leq \left [ \frac{3\sqrt{xy}+3\sqrt{yz}+3\sqrt{xz}+x+y+z}{4} \right ]^{4} \Leftrightarrow 81\leq \left [ \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{4} \right ]^{4}\Leftrightarrow 81\leq \left ( \frac{9+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{4} \right )^{4} \Leftrightarrow \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\geq 3$ (1)

Từ (PT2) có :

$9=(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}\geq 3(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}) \Leftrightarrow \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\leq 3$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra x = y = z = 1 là nghiệm của hệ pt

Nhờ anh chị hướng dẫn giúp e 2 bài pt căn lớp 10:

1/ $\left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 4}  + x\sqrt {{x^2} - 2x + 10}  = 0$

 

PT <=> $x\sqrt{x^{2}-2x+10}=(1-x)\sqrt{x^{2}+4} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq x\leq 1 & \\ x^{2}[(x-1)^{2}+9]=(1-x)^{2}(x^{2}+4) & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq x\leq 1 & \\ 9x^{2}=4(1-x)^{2} & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\frac{2}{5}$

Giải phương trình :

$\sqrt{2x^{2}-2x+4}+\sqrt{5x^{2}+4}+x^{2}-7x+1=0$

Dễ thấy nếu x < 0 thì pt vô nghiệm, xét x > 0 :

PT $\Leftrightarrow \sqrt{2x^{2}-2x+4}-(x+1)+\sqrt{5x^{2}+4}-(2x+1)+x^{2}-4x+3=0$

<=> $(x^{2}-4x+3)(\frac{1}{\sqrt{2x^{2}-2x+4}+x+1}+\frac{1}{\sqrt{5x^{2}+4}+2x+1}+1)=0$

$\Leftrightarrow x=1$ hoặc x = 3

 

 

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c \leq 1$.c/m:

$$\frac{1}{a^{2}+2bc}+\frac{1}{b^{2}+2ca}+\frac{1}{c^{2}+2ab}\geq 9$$

 

VT $\geq \frac{9}{(a+b+c)^{2}}\geq 9$

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1/3

Giải phương trình: $x+ \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}= \frac{35}{12}.$

Cách khác :v

ĐK x > 1  hoặc x < -1

Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của pt, do đó 

PT <=> $\frac{1}{\frac{1}{x}}+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}=\frac{35}{12}$

Đặt $a=\frac{1}{x},b=\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}$ (a,b >0 do x phải > 0)

Khi đó ta có hệ $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{35}{12} & \\ a^{2}+b^{2}=1 & \end{matrix}\right.$

Đây chính là hệ pt đối xứng loại 1

Giải hệ và tìm đc x