Toanthinh108

Bác có phần "Phân tích dãy số thành nhân tử" không, cho em xin ít. Em xin chân thành cảm ơn!

a/$\sqrt{3u_n^2+1}=u_{n+1}-2u_n\Leftrightarrow 3u_n^2+1=4u_n^2-4u_nu_{n+1}+u_{n+1}^2\Leftrightarrow 3u_{n+1}^2+1=u_n^2-4u_nu_{n+1}+4u_{n+1}^2\Leftrightarrow u_{n+2}-2u_{n+1}=2u_{n+1}-u_n$

b/

Ta chứng minh quy nạp với $n=3k-1$,$k$ nguyên dương thì $u_n\vdots 5$

$k=1$ đúng,giả sử đúng đến $k$,ta sẽ chứng minh $k+1$ cũng đúng

Thật vậy ta có:

$u_{3k+2}=4u_{3k+1}-u_{3k}=4(4u_{3k}-u_{3k-1})-u_{3k}=15u_{3k}-4u_{3k-1}\vdots 5$

Vậy ta có dpcm

b

Cảm ơn bác rất nhiều. Bác xem em làm câu b thế này có được không?

Ta có $u_1=4, u_2=15$ nên từ câu a) suy ra dãy số  $(u_n)$ là dãy số nguyên dương

và $u_{n+3}-u_n=4u_{n+2}-u_{n+1}-u_n=4(4u_{n+1}-u_{n})-u_{n+1}-u_n=5(3u_{n+1}-u_n).$

 Suy ra $u_{n+3}-u_n \equiv 0 (\bmod \; 5) $.

Hay $u_{n+3} \equiv u_n (\bmod \; 5) $.

Mà $u_2 = 15$ nên $0 \equiv u_{2} \equiv u_{5} \equiv ... \equiv u_{3k+2}(\bmod \; 5).$

Như vậy $u_{3k+2} \vdots 5 , k \in \mathbb{N}.$

Với k = 671, ta có $u_{2015} \vdots 5$. Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ta có Sn=1.2.3+2.3.4+...+n.(n+1).(n+2)

$\Rightarrow$4Sn+1=1.2.3.4+2.3.4.(5-1)+...+n.(n+1).(n+2)[(n+3)-(n-1)]+1

                                =n.(n+1).(n+2).(n+3)+1

                                =$(n^{2}+3n)(n^{2}+3n+2)$

Đặt $n^{2}+3n$=a ta được:

4Sn+1=a(a+2)+1=$a^{2}+2a+1=(a+1)^{2}$

$\Rightarrow$đpcm

Mình không nghĩ được như trên nên mình đã làm như sau:

Ta có: $a_n=(n+1)\left ( n^2+2n \right )=(n+1)\left [ \left ( n+1 \right )^2-1 \right ]=\left ( n+1 \right )^3-(n+1)$

Suy ra: $S_n=a_1+a_2+...+a_n$ $=\left [ 2^3+3^3+...+(n+1)^3 \right ]-\left [ 2+3+...+(n+1) \right ]$

$=\left [1^3+ 2^3+3^3+...+(n+1)^3 \right ]-\left [1+ 2+3+...+(n+1) \right ].$

Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được:

$\left [1^3+ 2^3+3^3+...+(n+1)^3 \right ]=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$

$1+ 2+3+...+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}.$

Suy ra: $S_n=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}.$

Từ đó ta có:

$4S_n+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=\left(n^2+3n\right )\left(n^2+3n+2 \right )+1$

$=\left(n^2+3n\right )^2+2\left(n^2+3n\right )+1=\left(n^2+3n+1\right )^2.$

Mà $n \in \mathbb{N^*}$ nên $\left(n^2+3n+1\right )$ là số nguyên dương.

Vậy $4S_n+1$ là số chính phương.

mot_so_bai_toan_ve_so_hoc_va_day_so.pdf

Cảm ơn bác rất nhiều, đúng cái em đang cần.

Bác nào có "Một số dạng toán liên quan đến dãy số trong số học" thì cấp cho em ít. Em xin cảm ơn!