aloha99

 

Câu I: Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $3^p+4^p$ là số chính phương

 

Xét $p=2$ => $x=5$ 

Xét $p\neq 2$

$3^p+4^p=x^2\Leftrightarrow (3+4)(3^{p-1}-3^{p-2}.4+...-3.4^{p-2}+4^{p-1})=x^{2}$

nên $x^{2}$ chia hết cho 7

Suy ra $(3^{p-1}-3^{p-2}.4+...-3.4^{p-2}+4^{p-1})$ chia hết cho 7  

Mà $4\equiv -3(mod 7)$ nên $3^{p-1}-3^{p-2}.4+...-3.4^{p-2}+4^{p-1} \equiv 3^{p-1}-3^{p-2}.(-3)+...-3.(-3)^{p-2}+(-3)^{p-1}=p.3^{p-1}$ chia hết cho 7

Suy ra p=7. suy ra $n^{2}=3^{7}+4^{7}$( không tồn tại n thỏa mãn)

Vậy $p=2$