tranductucr1

Ma trận A:

 

$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

tính A^n, với n=(1,2....)

p/s: mình học cùi bắp phần quy nạp lắm hix...

Dùng định lý Cayley-Hamilton ta có 
$|\lambda I_2-A|=|\begin{bmatrix} \lambda-1 & 1\\-2 & \lambda-4 \end{bmatrix}|=(\lambda-1)(\lambda-4)+2=\lambda^{2}-5\lambda+6$

=> $A^{n+2}-5A^{n+1}+6A^{n}=C$($C$ là ma trận không(1)
đặt $u_{(ij)(n)}$ là phần tử hàng  $i$ cột $j $ của ma trận $A^n$

Từ (1) ta có $u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_{n}$ (Xét riêng cho trường hợp $i=j=1$, trường hợp còn lại tương tự)
Giải phương trình sai phân ta được $u_{n}=\alpha .2^{n}+\beta. 3^n$
từ đó tìm được $A^{n} $
Đáp số: $\begin{bmatrix} 2^{n+1}-3^{n} &2^{n}-3^{n} \\ -2^{n+1}+2.3^{n} & 5.2^{n}-2.3^{n} \end{bmatrix}$

D

Số phần tử không gian mẫu: $45!$

Số cách xếp bạn nam: $17!$

Số cách xếp bạn nữ: $28!$

Giữa các bạn nữ có $29$ chỗ trống, số cách xếp các bạn nam vào các chỗ trống này: $C_{29}^{1}$

XS cần tìm:

$P=\frac{C_{29}^{1}17!28!}{45!}$

Đọc kỹ đề đi  bạn

Một bài toán hay và hóc búa :

Một tiến sĩ độc ác Schrodinger đã phát minh tia phóng xạ kích thích tăng trưởng với mục đích tạo thành một binh đoàn mèo khổng lồ tấn công thành phố

Capture.PNG

Để ngăn chặn ý đồ này, bạn cùng nhóm đặc vụ tiến vào căn phòng thí nghiệm của ông ta nhưng không may, bạn đã rơi vào bẫy, và căn phòng đổ sụp.  Schrodinger đã trốn sang một căn phòng khác và ngừng hệ thống. May sao, nhóm đặc vụ của bạn rất chuyên nghiệp và đặc vụ Delta đã khởi động lại hệ thống, trong khi đó, đặc vụ Alpha tìm kiếm mã mở khóa cho căn phòng tiếp theo và anh đã tìm được : $2-10-14$

Capture2.PNG

Tất cả những điều mà bạn cần làm để thoát khỏi đó là nhập mã vào hệ thống. Nhưng có một vấn đề : hệ thống bị phá hỏng nên chỉ có 3 nút hoạt động : $+5$; $+7$ và $\sqrt{}$ và bạn phải tạo thành các số "2","10" và "14" theo thứ tự đó. Bạn có thể biểu diễn các số khác nhau nhưng không thể khởi động lại dãy số nên một khi bạn đạt được đến số "2" thì bạn phải tiếp tục biểu diễn "10" theo số "2" và "14" theo số "10". Tuy nhiên còn một vấn đề khác mà đặc vụ Delta giải thích cho bạn : Nếu có 2 số giống nhau hoặc một số $\geq60$ hoặc một số không tự nhiên xuất hiện trên màn hình hiển thị, căn phòng sẽ phát nổ. Hiện tại màn hình đang hiển thị số "0"

( Giả sử màn hình đang hiển thị số "19" ấn $+5$ sẽ được "24", ấn $+7$ được "31", ấn $+5$ được "36" và ấn $\sqrt{}$ được "6" )

Capture3.PNG )

VẬY BẠN SẼ LÀM THẾ NÀO ĐỂ THOÁT KHỎI CĂN PHÒNG ?

Nguồn : Google    

- Lao Hac and Korkot

p/s : Sorry mọi người em edit hơi tệ

 

Do có một số anh, chị chưa hiểu về đề nên em xin giải thích ạ

1. Có 2 số giống nhau 

Ví dụ sau khi biến đổi ra số "12" chẳng hạn. Tiếp tục biến đổi một hồi sau mà số "12" lại xuất hiện một lần nữa trên màn hình hiển thị thì phòng phát nổ

2. Có số $\geq60$

Đơn giản là nếu biến đổi ra số $\geq60$ thì phòng phát nổ . Ví dụ ấn 12 lần + 5 chẳng hạn

3. Có số " không tự nhiên"

Có nghĩa là biến đổi thành số thập phân ý ạ > Giả sử $\sqrt{12} = 3.464......$

3 TH đó sẽ khiến phòng phát nổ

LƯU Ý: CHỈ ĐƯỢC $+5$; $+7$ hoặc $\sqrt{}$

Mọi người khi giải chỉ cần ghi dãy số biến đổi, không cần ghi quy trình tạo nên dãy số đó

 

ĐƠN GIẢN HÓA BÀI TOÁN

Từ một số 0, chỉ được $+5, +7, \sqrt{}$ thì làm thế nào để tạo ra một dãy số trong đó có chứa các số "2" "10" và "14". Biết rằng 3 số này phải được sắp xếp theo thứ tự 2 -10 - 14, sao cho dãy số đó không có 2 số trùng lặp, không có số nào $>60$ và tất cả đều là các số tự nhiên

 

VẤN ĐỀ MỞ RỘNG :

Có bao nhiêu cách để tạo ra mật khẩu ?

$0,5,12,19,26,31,36,6,11,16,4,2,9,3,10,17,22,29,34,39,44,49,7,14 $

$(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}) \geq (\frac{(x+y)^2}{2}+z^2)(\frac{8}{(x+y)^2}+\frac{1}{z^2}) =  \frac{(x+y)^2}{2z^2}+\frac{8z^2}{(x+y)^2}+5 \geq (\frac{(x+y)^2}{2z^2}+\frac{z^2}{2(x+y)^2})+\frac{15z^2}{2(x+y)^2}+5 \geq 6+\frac{15}{2} =\frac{27}{2}$

Đường thẳng $y=2x+1$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x+m}{x-1}$

$\Leftrightarrow$ phương trình $(2x+1)(x-1)=x+m$ có nghiệm khác $1$

$\Leftrightarrow$ phương trình $2x^2-2x-m-1=0$ có $2$ nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta '=1+2m+2=2m+3> 0\Leftrightarrow m> -\frac{3}{2}$

$m=\frac{-3}{2}$ vẫn đúng !!

*** Tại sao phần màu đỏ lại tương đương với nhau ?