Ma trận A:
$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$
tính A^n, với n=(1,2....)p/s: mình học cùi bắp phần quy nạp lắm hix...
Dùng định lý Cayley-Hamilton ta có
$|\lambda I_2-A|=|\begin{bmatrix} \lambda-1 & 1\\-2 & \lambda-4 \end{bmatrix}|=(\lambda-1)(\lambda-4)+2=\lambda^{2}-5\lambda+6$
=> $A^{n+2}-5A^{n+1}+6A^{n}=C$($C$ là ma trận không(1)
đặt $u_{(ij)(n)}$ là phần tử hàng $i$ cột $j $ của ma trận $A^n$
Từ (1) ta có $u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_{n}$ (Xét riêng cho trường hợp $i=j=1$, trường hợp còn lại tương tự)
Giải phương trình sai phân ta được $u_{n}=\alpha .2^{n}+\beta. 3^n$
từ đó tìm được $A^{n} $
Đáp số: $\begin{bmatrix} 2^{n+1}-3^{n} &2^{n}-3^{n} \\ -2^{n+1}+2.3^{n} & 5.2^{n}-2.3^{n} \end{bmatrix}$