Đến nội dung

tranductucr1

tranductucr1

Đăng ký: 28-04-2015
Offline Đăng nhập: 16-06-2019 - 22:46
*****

#633142 Bài tập Chứng minh bất đẳng thức

Gửi bởi tranductucr1 trong 14-05-2016 - 21:33

1) Cho $z\geq y\geq x> 0$. Chứng minh: $y(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+\frac{1}{y}(x+z)\leq (x+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})$

2) Cho a, b, c dương và abc=1. Chứng minh: $\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(a+c)}+\frac{1}{c^{2}(b+a)}\geq \frac{3}{2}$

                                                                   và $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$

3) Với a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng $a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a+b)^{2}> a^{3}+b^{3}+c^{3}$

4) Cho a, b, c, d dương.

Chứng minh: $\sqrt{(a+b)(c+d)}+\sqrt{(a+c)(b+d)}+\sqrt{(a+d)(b+c)}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{da}+\sqrt{ac}+\sqrt{bd}$.

5) Chứng minh: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{2}$

6) Cho a, b, c dương. Chứng minh: $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}> 1$

7) Với 0<x<y<z, chứng minh $\frac{x^{2}}{z}<\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}<\frac{z^{2}}{x}$

8) Với a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng $a^{2}(b+c-a)+b^{2}(c+a-b)+c^{2}(a+b-c)\leq 3abc$

9) Với a, b, c dương. Chứng minh:

a) $(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\leq abc$

b) $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

10) Với a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng:

a) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

b) $\frac{a^{2}}{b+c-a}+\frac{b^{2}}{a+c-b}+\frac{c^{2}}{a+b-c}\geq a+b+c$

(Mình cần lời giải của 10 bài tập trên cộng thêm với 10 bài trong 3 ảnh gửi kèm, rất gấp, ai giúp mình với, ai biết thì xin nán lại giúp mình - BÀI NÀO LÀM RỒI MÌNH SẼ TÔ ĐỎ HOẶC ĐÁNH DẤU CHỮ "R")

4. $\sqrt{(a+b)(c+d)} \geq \sqrt {ac}+\sqrt{bd}$( bất đẳng thức C-S) tương tự với hai cái còn lại rồi cộng lại 
8. bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) \leq abc$ đây là một kết quả kinh điển 
9b .$\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}= \sum a-\sum \frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2} \geq \sum a -\sum \frac{ab(a+b)}{3ab} \geq \sum a-\sum \frac{2a}{3} =\sum \frac{a}{3}$




#633136 Bài tập Chứng minh bất đẳng thức

Gửi bởi tranductucr1 trong 14-05-2016 - 21:19

1) Cho $z\geq y\geq x> 0$. Chứng minh: $y(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+\frac{1}{y}(x+z)\leq (x+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})$

2) Cho a, b, c dương và abc=1. Chứng minh: $\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(a+c)}+\frac{1}{c^{2}(b+a)}\geq \frac{3}{2}$

                                                                   và $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$

3) Với a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng $a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a+b)^{2}> a^{3}+b^{3}+c^{3}$

4) Cho a, b, c, d dương.

Chứng minh: $\sqrt{(a+b)(c+d)}+\sqrt{(a+c)(b+d)}+\sqrt{(a+d)(b+c)}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{da}+\sqrt{ac}+\sqrt{bd}$.

5) Chứng minh: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{2}$

6) Cho a, b, c dương. Chứng minh: $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}> 1$

7) Với 0<x<y<z, chứng minh $\frac{x^{2}}{z}<\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}<\frac{z^{2}}{x}$

8) Với a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng $a^{2}(b+c-a)+b^{2}(c+a-b)+c^{2}(a+b-c)\leq 3abc$

9) Với a, b, c dương. Chứng minh:

a) $(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\leq abc$

b) $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

10) Với a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng:

a) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

b) $\frac{a^{2}}{b+c-a}+\frac{b^{2}}{a+c-b}+\frac{c^{2}}{a+b-c}\geq a+b+c$

(Mình cần lời giải của 10 bài tập trên cộng thêm với 10 bài trong 3 ảnh gửi kèm, rất gấp, ai giúp mình với, ai biết thì xin nán lại giúp mình - BÀI NÀO LÀM RỒI MÌNH SẼ TÔ ĐỎ HOẶC ĐÁNH DẤU CHỮ "R")

3. bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) \geq 0$ điều này hiển nhiên đúng với a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác




#633128 Bài tập Chứng minh bất đẳng thức

Gửi bởi tranductucr1 trong 14-05-2016 - 21:05

1) Cho $z\geq y\geq x> 0$. Chứng minh: $y(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+\frac{1}{y}(x+z)\leq (x+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})$

2) Cho a, b, c dương và abc=1. Chứng minh: $\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(a+c)}+\frac{1}{c^{2}(b+a)}\geq \frac{3}{2}$

                                                                   và $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$

3) Với a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng $a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a+b)^{2}> a^{3}+b^{3}+c^{3}$

4) Cho a, b, c, d dương.

Chứng minh: $\sqrt{(a+b)(c+d)}+\sqrt{(a+c)(b+d)}+\sqrt{(a+d)(b+c)}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{da}+\sqrt{ac}+\sqrt{bd}$.

5) Chứng minh: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{2}$

6) Cho a, b, c dương. Chứng minh: $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}> 1$

7) Với 0<x<y<z, chứng minh $\frac{x^{2}}{z}<\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}<\frac{z^{2}}{x}$

8) Với a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng $a^{2}(b+c-a)+b^{2}(c+a-b)+c^{2}(a+b-c)\leq 3abc$

9) Với a, b, c dương. Chứng minh:

a) $(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\leq abc$

b) $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

10) Với a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng:

a) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

b) $\frac{a^{2}}{b+c-a}+\frac{b^{2}}{a+c-b}+\frac{c^{2}}{a+b-c}\geq a+b+c$

(Mình cần lời giải của 10 bài tập trên cộng thêm với 10 bài trong 3 ảnh gửi kèm, rất gấp, ai giúp mình với, ai biết thì xin nán lại giúp mình - BÀI NÀO LÀM RỒI MÌNH SẼ TÔ ĐỎ HOẶC ĐÁNH DẤU CHỮ "R")

bài 1 . Bất đẳng thức viết lại thành $(z-y)(\frac{1}{x}-\frac{x}{yz}-\frac{1}{y} \geq (z-y)(\frac{1}{x}-\frac{2}{y}) \geq (z-y)\frac{(2y-x)}{2xy} \geq 0$ dấu = xãy ra khi z=y




#629395 Cho $(x+\sqrt{1+x^{2}})(y+\sqrt{1+y^...

Gửi bởi tranductucr1 trong 24-04-2016 - 20:13

Cho $(x+\sqrt{1+x^{2}})(y+\sqrt{1+y^{2}})=2016$.

Tính $P=xy+\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}$

Ta có $(x+\sqrt{x^2+1})(\sqrt{y^2+1}+y) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x} *\frac{1}{\sqrt{y^2+1}-y} =2016$ 
$\Rightarrow (\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{y^2+1}-y)= \frac{1}{2016}(1)$

ta có $(\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{y^2+1}+y)=2016 (2) $ 

Cộng (1) vs (2)  ta có điều cần tìm




#629383 $$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{5}+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{...

Gửi bởi tranductucr1 trong 24-04-2016 - 19:41

Tồn tại hay không? Các số dương a,b,c khác nhau thõa mãn đẳng thức.

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{5}+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{5}+(\sqrt{c}-\sqrt{a})^{5}=0$

Đặt $x=\sqrt{a}-\sqrt{b}$;$y=\sqrt{b}-\sqrt{c}$;$z=\sqrt{c}-\sqrt{a}$

$\Rightarrow x+y+z=0$
PT viết lại thành $x^5+y^5+z^5=0$
ta có hằng đẳng thức quen thuộc sau 

$(x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5=5(x+y)(y+z)(x+z)(x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz)=0$. (Vô lý vì $x+y;y+z;x+z$  đều khác không và $\sum x^2+\sum xy=\sum \frac{(x+y)^2}{2}$)




#629380 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên LHP TP.HCM năm học 2011-2012

Gửi bởi tranductucr1 trong 24-04-2016 - 19:32

Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên LHP TP.HCM năm học 2011-2012. Sửa lại Bài 3 câu 2: ... $x^2-x=1$ ....

$\frac{2}{x+y}+x=\frac{x^2+xy+2}{x+y}=\frac{4}{x+y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

$\Rightarrow x=y$ thay vào $(1)$

ta có $x^2=1$ từ đây $\Leftarrow x=1$ hoặc $x=-1$ 
$\Rightarrow....$

 




#621771 Tồn tại hay không các số y, z, k có dạng $y^2+yz+z^2=k^2$

Gửi bởi tranductucr1 trong 21-03-2016 - 22:32

Tồn tại hay không các số nguyên dương  $y,z,k$ có dạng $y^2+yz+z^2=k^2$ với y,z,k là các số nguyên dương




#621758 Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: $x^3+y^3=z^3$

Gửi bởi tranductucr1 trong 21-03-2016 - 22:10

:)) Theo tôi thì phương trình này vô nghiệm đã được giải  quyết bởi Andrew 
Bạn có thể tham khảo thêm định lý cuối cùng của Ferma




#621711 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=$\frac{xy-2x-y+2}...

Gửi bởi tranductucr1 trong 21-03-2016 - 20:45

cho ba số thực x>1,y>2,z>3 thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x -4y-6z+13$ =0

tìm giá trị nhỏ nhất của P=$\frac{xy-2x-y+2}{z-3}+\frac{yz-3y-2z+6}{x-1}+\frac{xz-3x-z+3}{y-2}$

đặt $a=x-1;b=y-2;c=z-3$ 
Ta có $a^2+b^2+c^2=1$ 
ta lại có $P=\sum \frac{ab}{c} \geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} \geq \sqrt{3}$

 

giả phương trình $2(x^{2}-4x+6)-3\sqrt{x^{3}+27}$

Ta có $2(x^2-4x+6)-3\sqrt{x^3+27}=-2(x+3)+2(x^2-3x+9)+3\sqrt{(x+3)(x^2-3x+9)}=0$ đặt $a=\sqrt{x^2-4x+6}$ và $b=x+3$ Thì đây là dạng đặc biết khá quen thuộc




#621369 P= $\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}...

Gửi bởi tranductucr1 trong 20-03-2016 - 11:00

 

Câu 3: Cho $x y z >0 

Tìm Min: P= $\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy + 2yz+zx}$

 

Nhận thấy mối quan hệ của biến x,y,z ta dự đoán dấu = xảy ra khi y=z  

$\alpha y^2+\alpha z^2+(1-\alpha)z^2+\frac{x^2}{2}+(1-\alpha)y^2+\frac{x^2}{2} \geq (xz+xy) \sqrt{2(1-\alpha)}+2\alpha yz $
Cần tìm $\alpha$ sao cho $\sqrt{2(1-\alpha)}=\alpha$=>  Chọn $\alpha =-1+\sqrt{3}$ Vì $\alpha >0$

=> Min $P=\alpha=-1+\sqrt {3}$




#621364 Tổng các nghịch đảo các nghiệm của pt $25\sqrt{25x+4}+4=x...

Gửi bởi tranductucr1 trong 20-03-2016 - 10:47

Tổng các nghịch đảo của các nghiệm của phương trình $25\sqrt{25x+4}+4=x^2$ là?d

Đặt $ y=\sqrt{25x+4}$ => $25y+4=x^2$(1)

Ta có $y^2=25x+4$ (2)  (2)-(1) => $25(x-y)=(y-x)(x+y)$ 
*Với x-y = 0 Thì ... 

*Với x+y+25=0 thì.... 




#621361 $(m-2)x^4 -mx^2 +m^2-4=0$ có đúng 3 nghiệm

Gửi bởi tranductucr1 trong 20-03-2016 - 10:44

Giá trị của m để pt : $(m-2)x^4 -mx^2 +m^2-4=0$ có đúng 3 nghiệm là ?

Để phương trình có 3 nghiệm thì tồn tại một nghiệm  bằng  0 từ đó có thể giải được m 




#621358 Tìm Min $\sum a^2 + \sum \frac{1}{(a-b)^2...

Gửi bởi tranductucr1 trong 20-03-2016 - 10:34

Cho a,b,c là các số thực phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

$P=\sum a^2 + \sum \frac{1}{(a-b)^2}$

Spoiler

Giả sữ $ a \geq b \geq c$ 
$f(a,b,c) \geq f(a-c,b-c,0) \Leftrightarrow  a^2+b^2+c^2 \geq  (a-c)^2+(b-c)^2 \Leftrightarrow c(2a+2b-c) \geq 0$ (Đúng ) 
Đặt x=a-c,y=b-c 
=> $f(a-c,b-c,0) =x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x-y)^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{8x^2}{9}+\frac{1}{y^2}+\frac{8y^2}{9} +\frac{(x^2+y^2)(1+1)}{18}+(x-y)^{-2} \geq \frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{(x-y)^2}{18}+\frac{1}{(x-y)^2} \geq 4\sqrt{\frac{8}{9}}+\frac{2}{\sqrt{18}}$




#620180 Đề thi học sinh giỏi Toán Thanh Hóa 2015-2016

Gửi bởi tranductucr1 trong 14-03-2016 - 10:56

đề khó vật vã, thảm quá  :(  :(  :(  :wacko:

my solution :D 
Viết lại bdt như sau 
$ \sum \frac{2a^5+3b^5}{ab} -5ab^2 \geq 15(a^3+b^3+c^3-ab^2-bc^2-ca^2)$ 
$\Leftrightarrow \sum \frac{2a^5+3b^5-5a^2b^3}{ab} \geq 15(a^3+b^3+c^3-ab^2-bc^2-ca^2)$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2(2a^3+4a^2b+6ab^2+3b^3)}{ab} \geq 5 \sum (a-b)^2(a+2b)$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2(2a^3+3b^3-a^2b-4ab^2)}{ab} \geq 0$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^4(2a+3b)}{ab} \geq 0$ (Đúng )
Vậy bài toàn dc giải quyết 




#620150 Tìm Min $a^2+b^2+c^2+abc$

Gửi bởi tranductucr1 trong 13-03-2016 - 22:45

1.Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác sao cho $a+b+c = 3.$ Tìm Min $a^2+b^2+c^2+abc$

2. Cho x,y,z là các số thực dương sao cho $x+y+z = 3$

Tìm min $x^2+2y^2+z^3$

Đặt $p=a+b+c=3;q=ab+bc+ac;r=abc$
Đặt P=$a^2+b^2+c^2+abc=p^2-2q+r=9-2q+r$
Áp dụng bất đẳng thức shur $r \geq \frac{4pq-p^3}{9}=\frac{4q-9}{3}$

=> $P \geq 9-2q+\frac{4q-9}{3}=\frac{27-6q+4q-9}{3} =\frac{18-2q}{3} \geq 4$ ( ta có $q=ab+bc+ac \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$
vậy $min P=4$