Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{x}{xyz+x^{2}+1}+\frac{y}{xyz+y^2+1}+\frac{z}{xyz+z^2+1}$
- minhducndc yêu thích
Nếu bạn gặp lỗi trong quá trinh đăng ký thành viên, hoặc đã đăng ký thành công nhưng không nhận được email kích hoạt, hãy thực hiện những bước sau:
Gửi bởi PlanBbyFESN
trong 15-10-2017 - 23:14
Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{x}{xyz+x^{2}+1}+\frac{y}{xyz+y^2+1}+\frac{z}{xyz+z^2+1}$
Gửi bởi PlanBbyFESN
trong 01-09-2017 - 23:29
$\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ 3bc+4ca+5ab\leq 6abc & \end{matrix}\right.$
Tìm MAX:
$\frac{3a+2b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Gửi bởi PlanBbyFESN
trong 17-08-2017 - 21:12
Cho $\left\{\begin{matrix} a>b>c\geq 0 & \\ 3ab+5bc+7ca\leq 9 & \end{matrix}\right.$
CMR:
$\frac{32}{(a-b)^{4}}+\frac{1}{(b-c)^{4}}+\frac{1}{(c-a)^{4}}\geq \frac{22}{9}$
Gửi bởi PlanBbyFESN
trong 10-08-2017 - 22:52
Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn: $ab+bc+ca=3$
CMR: $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{abc}{2}\leq 2$
Gửi bởi PlanBbyFESN
trong 08-08-2017 - 13:11
Cho $a,b,c$ là các số thực .
Chứng minh :
$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}\geq \frac{1}{2}.\left [\frac{a+b}{c} +\frac{b+c}{a}+ \frac{c+a}{b}\right ]$
Gửi bởi PlanBbyFESN
trong 11-07-2017 - 18:18
Bài 1: Cho $a,b,c$ dương. Chứng minh:
$\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}\geqslant \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$
Bài 2: Cho $a,b,c$ không âm. Chứng minh:
$3(a+b+c)\geqslant 2(\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab})$
Bài 3: Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=2abc+1$. Chứng minh:
Tìm giá trị lớn nhất: $P=(a-2bc)(b-2ca)(c-2ab)$
Bài 4: Cho $a,b,c$ dương có tổng bằng 3. Chứng minh:
$(a^3+b)(b^3+c)(c^3+a)+10\leq 6(a^2+b^2+c^2)$
Hi vọng lời giải vận dụng những cái cổ điển xinh đẹp và chính chủ nhé!
Gửi bởi PlanBbyFESN
trong 08-06-2017 - 18:10
$\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq 3$$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq \sqrt{\left [ 2\sum \left (a+b \right ) \right ]\left [ \sum \frac{2a}{(a+b)(c+a)} \right ]}=\sqrt{\frac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\leq 3$ (C-S & AM-GM)
Gửi bởi PlanBbyFESN
trong 05-06-2017 - 18:24
Gửi bởi PlanBbyFESN
trong 05-06-2017 - 17:45
Gửi bởi PlanBbyFESN
trong 02-06-2017 - 14:54
Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $x+y+z= 1$.
Chứng minh:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+48(xy+yz+zx)\geq 25$
Gửi bởi PlanBbyFESN
trong 01-06-2017 - 19:48
Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$. CMR: $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geqslant$$x+y+z$
$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}=x+y+z$
$\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{yz}}=\frac{3x}{\sqrt[3]{xyz}}$
Gửi bởi PlanBbyFESN
trong 25-05-2017 - 11:03
Cho a, b ,c > 0. a+ b + c =3. Chứng minh: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2$
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+bc+ca) \geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+bc+ca)\geq 9$
Áp dụng Am-Gm:
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+bc+ca)=(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})+(ab+bc+ca)+(ab+bc+ca)\geq 3\sqrt[3]{(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})(ab+bc+ca)^{2}}=3\sqrt[3]{\frac{(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})(ab+bc+ca)^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(ab+bc+ca)^{4}}{3a^{2}b^{2}c^{2}}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{9a^{2}b^{2}c^{2}(a+b+c)^{2}}{3a^{2}b^{2}c^{2}}}=9$
(Áp dụng BĐT: $(ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc(a+b+c)$
.................................
Gửi bởi PlanBbyFESN
trong 21-05-2017 - 21:11
Cho các số dương a,b,c, thỏa mãn a+b+c=3 . Chứng minh rằng :
$\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}} + \frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}} + \frac{ac}{\sqrt{b^{2}+3}} \leq \frac{3}{2}$
( P/s : Có thể giải bài này bằng phương pháp tiếp tuyến không ạ ? m.n giúp em với
))
$a+b+c=3\Rightarrow 3\geq ab+bc+ca$
$\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}}\leq \frac{ab}{\sqrt{c^{2}+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{1}{2}.\left [ \frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b} \right ]$
$\Rightarrow \frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}} + \frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}} + \frac{ac}{\sqrt{b^{2}+3}}\leq \frac{1}{2}.\sum [ \frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}]=\frac{3}{2}\blacksquare$
P/S: Có
Gửi bởi PlanBbyFESN
trong 21-05-2017 - 20:57
Cho $0\leq a,b,c,d\leq 1$. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{bcd+2}+\frac{b}{cda+2}+\frac{c}{abd+2}+\frac{d}{abc+2}\leq 1+\frac{1}{abcd+2}$
$\frac{a}{bcd+2}+\frac{b}{cda+2}+\frac{c}{abd+2}+\frac{d}{abc+2}\leq \frac{a+b+c+d}{abcd+2}\leq \frac{ab+1+cd+1}{abcd+2}\leq \frac{abcd+1+2}{abcd+2}=1+\frac{1}{abcd+2} \blacksquare$
$\begin{Bmatrix} 0\leq a,b,c,d\leq 1 & & \\ (a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab+1\geq a+b & & \\ (c-1)(d-1)\geq 0\Leftrightarrow cd+1\geq c+d & & \\ (ab-1)(cd-1)\geq 0\Leftrightarrow abcd+1\geq ab+cd \end{Bmatrix}$
Gửi bởi PlanBbyFESN
trong 08-05-2017 - 21:18
BQT làm thế là không đúng rồi nhé. tienduc chưa xứng đáng để làm ĐHV THCS, bạn ấy thường xuyên hỏi bài, chất lượng bài thấp, toàn bài dễ thôi. Có nhiều bạn cần được set hơn như: Mr Cooper, NHoang1608, Nguyenphuctang hay HoangKhanh2002.....
Đây là những thành viên thường xuyên giải các bài khó và đóng góp nhiều cho diễn đàn. Chưa xứng đáng, mong BQT xem xét lại
Điều hành viên không phải cứ như bạn nghĩ đâu bạn à. Ban Quản Trị là vì sự phát triển diễn đàn nên quyết định luôn là đúng đắn nhất. Bạn không có quyền phán xét ở đây, trong topic này!
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học