NhatTruong2405

Đặt

$ A=\sqrt{\sqrt{5}+3}-\sqrt{3-\sqrt{5}}$ 

$\Leftrightarrow \sqrt{2}A=\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{2}A=\sqrt{(\sqrt{5}+1)^2}-\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{2}A=\left | \sqrt{5}+1 \right |-\left | \sqrt{5}-1 \right |$

$\Leftrightarrow \sqrt{2}A=2$

$\Leftrightarrow A=\sqrt{2}$

Tính giới hạn các dãy số sau

$\boxed{\text{Câu 1}}$:

$\frac{3}{4}+\frac{5}{36}+...+\frac{2n+1}{n^2+(n+1)^2}$

$\boxed{\text{Câu 2}}$

$\frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\times ...\times \frac{2n-1}{2n}$

$\boxed{\text{Câu 3}}$

$(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})...(1-\frac{1}{n^2})$

$\boxed{\text{Câu 1}}$

$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{n^2+3n+k}}$

Cho $x \geq 2, y \geq 4 , z \geq 6$

Tìm Max

$P = \dfrac{yz\sqrt{x-2} + xy\sqrt{z-2} + xz\sqrt{y-2}}{xyz}$

Biểu thức P được viết dưới dạng:

$P=\frac{\sqrt{x-2}}{x}+\frac{\sqrt{y-4}}{y}+\frac{\sqrt{z-6}}{z}$ 

Ta có

$\frac{\sqrt{x-2}}{x}=\frac{\sqrt{2}\sqrt{x-2}}{\sqrt{2}x}\leq \frac{2+x-2}{2\sqrt{2}x}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

Dấu bằng xảy ra khi $x=4$

Cmtt:$\frac{\sqrt{y-4}}{y}\leq \frac{1}{2\sqrt{4}}$ Dấu bằng xảy ra khi $y=8$

$\frac{\sqrt{z-6}}{z}\leq \frac{1}{2\sqrt{6}}$ Dấu bằng xảy ra khi $z=12$

Vay $maxP=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{4}}+\frac{1}{2\sqrt{6}}$ khi $x=4$,$y=8$,$z=12$

Chứng minh rằng $x^2+(x-y)^2\geq 4(x^2+y^2)sin^2(\frac{\pi}{10})$

1) $$m\vdots2 dat m=2k(k\geq 0) m^8+m^7+6m^6+4m^5+m^4=(2k)^8+(2k)^7+6(2k)^6+4(2k)^5+(2k)^4=16(16k^8+8k^3+24k^6+32k^5+k^4)\vdots 16$$

 

 

$m\geq 0$, $m\vdots 2$ nha bạn

$m\vdots2$

Đặt $m=2k$ ($k\geq 0$)

$m^{8}+m^{7}+6m^{6}+4m^{5}+m^{4}$

$=(2k)^8+(2k)^7+6(2k)^6+4(2k)^5+(2k)^4$

$=16(16k^8+8k^7+24k^6+32k^5+k^4)\vdots 16$

Cho $a,b,c>0$;$a+b+c=3$

Chứng minh

1,$\frac{a^{2}}{a+b^{2}}$$+$$\frac{b^{2}}{b+c^{2}}$$+$$\frac{c^{2}}{c+a^{2}}$ $\geq$ $\frac{3}{2}$

 

 

Ta co:

$\sum \frac{a^2}{a+b^2}=\sum \frac{a^2+ab^2-ab^2}{a+b^2}= \sum a-\sum \frac{ab^2}{a+b^2}$ 

Can chung minh 

$\sum \frac{ab^2}{a+b^2}\leq \frac{3}{2}$

Ap dung BDT AM-GM:

$\sum \frac{ab^2}{a+b^2}\leq \frac{ab^2}{2\sqrt{ab^2}}=\frac{\sqrt{ab^2}}{2}$

Ap dung BDT Cauchy-Schwarz:

$\sum \sqrt{ab^2}=\sum \sqrt{ab}\sqrt{a}\leq \sqrt{(\sum ab)(\sum a)}\leq \sqrt{\frac{(\sum a)^3}{3}}=3$

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ , $H$ là trực tâm ,$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

       Chứng minh $H,G,O$ thẳng hàng 

Bài 2: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, $D$ là trung điểm $AB$,$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

       Chứng minh $OG$ vuông góc với $CD$

 

Câu 1 là đường thẳng Euler

Xem tại đây

Cho a;b;c >0.CM:

$\sum \frac{1}{a+2b+c}\leq \sum \frac{1}{a+3b}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+b+2c}\geq \frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a+3b}+\sum \frac{1}{a+b+2c}\geq 2\sum \frac{1}{a+2b+c}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a+3b}\geq \sum \frac{1}{a+2b+c}$

1. Cho n là tổng 2 số chính phương. chứng minh rằng: 2n la tổng 2 số chính phương

2. Chứng minh rằng: $(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}>=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Cho hỏi $a,b$ có dương không bạn

Nếu dương thì dùng cách này

Áp dụng BĐT AM-GM

Ta có đpcm

1. Cho n là tổng 2 số chính phương. chứng minh rằng: 2n la tổng 2 số chính phương

2. Chứng minh rằng: $(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}>=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Đặt $n=a^2+b^2$

$\Leftrightarrow 2n=2(a^2+b^2)=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=(a+b)^2+(a-b)^2$

$\Leftrightarrow 2n$ là tổng 2 số chính phương

Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $a$ thoả $z=n^{4}+a$ không phải là số nguyên tố với mọi số nguyên $n$

$z=n^{4}+a$

Xet $a=4k^4$ voi $k$ thuoc $\mathbb{Z}+$

$\Leftrightarrow z=n^4+4k^4=(n^2+2k^2)^2-4n^2k^2=(n^2+2k^2-2nk)(n^2+2k^2+2nk)$

Ma $n^2+2k^2+2nk> n^2+2k^2-2nk=(n-k)^2+k^2\geq k^2> 1$

Nen $z=n^4+4k^4$ la hop so

Vay ton tai vo so so a co dang $a=4k^4$ voi $k$ thuoc $\mathbb{Z}+$ de z khong phai la so nguyen to

Chứng minh rằng:

$sin ^{2}(a-b)+sin^2{b}+2sin^{2}(a-b)sinbcosa=sin^2a$

De sai voi a=52,b=47

Phai la chung minh $sin^{2}(a-b)+sin^{2}b+2sin(a-b)sinbcosa=sin^2{a}$

Ta co $sin^{2}(a-b)+sin^{2}b+2sin(a-b)sinbcosa$

$=sin(a-b)[sin(a-b)+2sinbcosa]+sin^{2}b$

$=sin(a-b)[sinacosb-sinbcosa+2sinbcosa]+sin^2b$

$=sin(a-b)sin(a+b)+sin^2b$

$=\frac{1}{2}(cos2b-cos2a)+sin^2b$

$=\frac{cos^2b-sin^2b-cos2a+2sin^2b}{2}$

$=\frac{1-cos2a}{2}$

$=sin^2a$

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
 
$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c \geqslant \frac{6(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$
 

Spoiler

Mở rộng: Tìm số $k$ tốt nhất để BĐT sau đúng:
$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+k(a+b+c) \geqslant 3(k+1)\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$
 
P/s: Mong chờ một lời giải bằng BĐT $Cauchy-Schwarz$      

KMTTQ gia su giả sử b nằm giữa a và c
BDT can chung minh tuong duong: $\sum (\frac{a^2}{b}+b-2a)\geq \frac{6(\sum a^2)}{\sum a}-2(\sum a)$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2}{b}\geq \frac{6(\sum a^2)}{\sum a}-2(\sum a)$
Ap dung BDT Cauchy-Schwarz: $\sum \frac{(a-b)^2}{b}\geq \frac{[(a-b)+(b-c)+(a-c)]^2}{a+b+c}=\frac{4(a-c)^2}{a+b+c}$
Can chung minh: $2(a-c)^2\geq 3(\sum a^2)-(\sum a)^2 \Leftrightarrow 2(b-c)(b-a)\leq 0$(dung theo gia su)
Vay BDT duoc chung minh