Augustin Louis Cauchy III

Cho $$p$$ là số nguyên tố . CMR đa thức sau bất khả quy trên $Z[x]$ : 

$P(x)=x^{p-1}+2x^{p-2}+...+(p-1)x+p$

1)Cho a, b ,c dương. Chứng minh: $\sum \frac{1}{a^{2}+bc}\geq 9$

2) Cho a, b, c dương Chứng minh: $\sum \frac{a}{b+2c+3d}\geq \frac{2}{3}$

1) Có thể đề như thế này : 

$(\sum ab)(\sum \frac{1}{a^{2}+bc})\geq 3+\frac{12abc}{\prod (a^{2}+bc)}$ với mọi $a,b,c>0$

Gửi VMF tài liệu bổ ích này

Bạn ơi mình học lớp 9. Không có biết đạo hàm với biến thiên hàm số là gì mà bạn.

Ừ , quên chứ 

Cách THCS : Đặt $\sqrt{a+b}=t$

Ta cần chứng minh : $t-\frac{1}{t}+\frac{1}{t^{2}}\geq 1$ (*)

Thật vậy (*) luôn đúng do $(*)\Leftrightarrow (t+1)(t-1)^{2}\geq 0$

Để ý rằng : $6\sqrt{ab}=2\sqrt{a.9b}\leq a+9b$

Nên $P\geq \frac{a+b-1}{\sqrt{a+b}}+\frac{2015}{2015(a+b)}=\frac{a+b-1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{a+b}$

Đặt : $f(t)=t-\frac{1}{t}+\frac{1}{t^{2}}$

Sử dụng đạo hàm và biến thiên hàm số ta được : $f(t)\geq f(1)=1$

Dấu '' = '' xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{9}{10} & \\ b=\frac{1}{10} & \end{matrix}\right.$

Khai triển ra ta được : 

$\sum a^{3}+\sum ab^{2}-2\sum a^{2}b+6\sum ab-2\leq 0$

$\Leftrightarrow \sum a^{3}+\sum ab(a+b)-3\sum a^{2}b+6\sum ab-2\leq 0$ (*)

Lại có : $\sum a^{2}b\geq \frac{(\sum ab)^{2}}{\sum a}=(\sum ab)^{2}$

Nên ta cần chứng minh : $\sum a^{3}+\sum ab(a+b)-3(\sum ab)^{2}+6\sum ab-2\leq 0$

                                       $\Leftrightarrow (\sum ab-1)(\sum ab-\frac{1}{3})\geq 0$ (luôn đúng do : $\sum ab\leq \frac{1}{3}$)