Truong Anh

 a) $KC^2=KA.KB=KD^2=>...$

 b) $\widehat{ICA}+\widehat{IDA}=\widehat{ABE}+\widehat{ABF}=180^o$

 c) Vì CD là tiếp tuyến chung $=> DO'\perp CD => DO'\perp BF => DB=DF$

$\widehat{ADC}=\widehat{IFE}=\widehat{DBF}=\widehat{CDB}$

 CMTT : $\widehat{ICD}=\widehat{BCD}$

 $=> \Delta ICD=\Delta BCD=> ID=BD=FD=> \Delta IBE$ vuông $=> IB\perp BE=>IB\perp CD$

 d) Vì $CD//MN => \frac{CK}{BN}=\frac{AK}{AB}=\frac{DK}{BM}=> BM=BN$

  $=> IB$ vừa là đường cao vừa là trung tuyến của $\Delta IMN$

  $=> \Delta IMN$ cân

Chỗ đỏ phải là $\widehat{IDC}$ chứ

Câu a dễ rồi:

Ta có: $\widehat{JCM}=\widehat{CMJ}(=\widehat{ACJ})$

Nên $CJ=MJ$

Xét tam giác MCO vuông tại M có $CJ=MJ$ nên $CJ=MJ=OJ$

=> ĐPCM

P/s: Không có compa nên vẽ hình bằng tay không, định tìm điểm cố định cho câu b rồi chứng minh mà không được

Mình tìm ra điểm cố định rồi. Đấy là trung điểm của OA. Nhưng phần CM thì chưa làm được.

thì mình làm ý c mà, bạn đọc kĩ lại đi ....

ukm, được rồi, cảm ơn nha

Đặt $a=-x, b=y$ thì $M=(a+b)^2+(a+b)-ab+1$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $-ab\geqslant \dfrac{(a+b)^2}{4}$ hay $M\geqslant \dfrac{-(-3a-3b-1)(3a+3b+3)+9}{12}$

Áp dụng tiếp AM-GM cho ta $-(-3a-3b-1)(3a+3b+3)\geqslant \dfrac{-(-3a-3b-1+3a+3b+3)^2}{4}=-1$

Do đó $M\geqslant \dfrac{2}{3}$

bạn ơi, chưa có điều kiện x,y> thì sao có thể áp dụng bất đẳng thức AM-GM được

Dòng trên sao có được vậy bạn?

Có:

$a+b\geq 2\sqrt{ab}$

$b+c\geq 2\sqrt{bc}$

$c+a\geq 2\sqrt{ac}$

$\Rightarrow 3(a+b)(b+c)(c+a)\geq 24abc$

Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB cố định không đi qua tâm O. C và D là hai điểm di động trên cung lớn AB sao cho AD và BC luôn song song. Gọi M là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp

b) OM vuông góc với BC

c)Đường thẳng d đi qua M và song song với AD luôn đi qua 1 điểm cố định