81NMT23

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$7(ab+bc+ca)\leqslant 2+9abc \Leftrightarrow 3(ab+bc+ca)\leqslant 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+9abc$

Có: $ab+bc+ca \leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Theo BĐT Schur ta có:$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

$\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)+ 9abc \geqslant 2(ab+bc+ca)(a+b+c)$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+9abc\geqslant 2(ab+bc+ca)$

suy ra đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài 2: 

Ta sẽ chứng minh:$ab+bc+ca-3abc\leqslant \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow 4(ab+bc+ca)-12abc\leqslant 1=(a+b+c)^2$

$\Leftrightarrow  2(ab+bc+ca) \leqslant a^2+b^2+c^2+12abc$

Theo BĐT Schur ta có :

$a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+9abc\geqslant (a+b+c)(ab+bc+ca)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\geqslant 2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+9abc\geqslant 2(ab+bc+ca)\Rightarrow a^2+b^2+c^2+12abc\geqslant a^2+b^2+c^2+9abc\geqslant 2(ab+bc+ca)$ 

Suy ra Max $B=\frac{1}{4}$ khi $a=0; b=c=\frac{1}{2}$

 

Áp dụng BĐT $\LARGE \frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}\geq \frac{(x+y)^2}{m+n}$ ta có

 

$\LARGE \LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{2bc}\geq \frac{4a^2}{(b+c)^2}$

C/m tương tự $\LARGE =>$ $\LARGE \frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{b^2}{2ca}\geq \frac{4b^2}{(c+a)^2}$

 $\LARGE \frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{2ab}\geq \frac{4c^2}{(a+b)^2}$

$\LARGE =>$ $\LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\geq \frac{4a^2}{(b+c)^2}+\frac{4b^2}{(a+c)^2}+ \frac{4c^2}{(a+b)^2} (1)$

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta được

 

 $\LARGE \frac{4a^2}{(b+c)^2}+1\geq \frac{4a}{b+c}$

 

C/m tương tự $\LARGE =>$$\LARGE \frac{4b^2}{(c+a)^2}+1\geq \frac{4b}{c+a}$

 

$\LARGE \frac{4c^2}{(a+b)^2}+1\geq \frac{4c}{a+b}$

 

$\LARGE =>$ $\LARGE \frac{4a^2}{(b+c)^2}+\frac{4b^2}{(c+a)^2}+\frac{4c^2}{(a+b)^2}\geq \frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}-3 (2)$

 

Từ (1) và (2) $\LARGE =>$ $\LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}-3-\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc} (3)$

 

Lại có  

$\LARGE a^3+b^3+c^3\geq 3abc$ ( BĐT Cauchy)

=> $\LARGE -\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\leq -\frac{3}{2}$

 

$\LARGE =>$$\LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}-\frac{9}{2}$

Mà $\LARGE \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$ (Nếu bạn chưa c/m được thì ib cho mình nhé   )

$\LARGE =>$ $\LARGE \frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}-\frac{9}{2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} (4)$

Từ (3) và (4) $\LARGE =>$ $\LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c 

 

Chỗ tô đỏ đó sai rồi bạn ơi, do không thể cộng 2 BĐt ngược dấu

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $a+b+c\leq \frac{3}{2}$.

Tìm Min P$=(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a})$

Sử dụng BĐT Holder và BĐT Cauchy 3 số ta có: 

$(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(3+\frac{1} {c}+\frac{1}{a})\geqslant (\sqrt[3]{3.3.3}+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{\sqrt[3]{bca}})^{3}=(3+\frac{2}{\sqrt[3]{abc}})^{3}\geqslant (3+\frac{2}{\frac{a+b+c}{3}})^{3}\geqslant 343 $(do $a+b+c \leqslant \frac{3}{2}$)

Vậy min $P =343$ khi $x=y=z=\frac{1}{2}$

Xin lỗi bạn, mình nhầm, đây là lời giải đúng :

Có: $\frac{\sqrt{x-1}}{x}=\frac{\sqrt{(x-1).1}}{x}\leqslant \frac{x-1+1}{2x}=\frac{1}{2}$

Tương tự suy ra $\frac{\sqrt{y-1}}{y}\leqslant \frac{1}{2}$

Lại có: $\frac{\sqrt{z-1}}{z}=\frac{\sqrt{(z-1).2}}{z.\sqrt{2}}\leqslant \frac{z-1+2}{2\sqrt{2}.z}=\frac{z+1}{2\sqrt{2}.z}\leqslant \frac{z+\frac{1}{3}z}{2\sqrt{2}.z}=\frac{\sqrt{2}}{3}$

Từ đó suy ra : $\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-1}}{y}+\frac{\sqrt{z-1}}{z}\leqslant \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{3+\sqrt{2}}{3}$

Vậy Max $A=\frac{3+\sqrt{2}}{3}$ khi x=y=2; z=3