LacKonKu

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:

$C_{n}^{1}+3C_{n}^{2}+7C_{n}^{3}+...+(2^{n}-1)C_{n}^{n} = 3^{2n}-2^{n}-6480$

Từ $\left ( 1+x \right )^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}x^{2}+...+C_{n}^{n}x^{n}$ ta có:

Với $x=2 \rightarrow 3^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}2+C_{n}^{2}2^{2}+...+C_{n}^{n}2^{n}$     $(1)$

Với $x=1 \rightarrow 2^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}$                        $(2)$

Lấy $\left ( 1 \right )-\left ( 2 \right )$ ta có:

$3^{n}-2^{n}=C_{n}^{1}+3C_{n}^{2}+7C_{n}^{3}+...+\left ( 2^{n}-1 \right )C_{n}^{n}$

Do đó:

$3^{n}-2^{n}=3^{2n}-2^{n}-6480\Leftrightarrow 3^{2n}-3^{n}-6480=0\Leftrightarrow 3^{n}=81\Leftrightarrow n=4$ 

Từ các chữ số 1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2015 chữ số sao cho số lần xuất hiện của mỗi chữ số 1,2,3 là số lẻ.

Tính A =  $\frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} +...+ \frac{1}{1+2+3+...+2014}$

Ta thấy $A$ có $\left ( 2014-2 \right )+1=2013$ số hạng.

Ta xét vài số hạng đầu của $\frac{A}{2}$ để tìm ra qui luật:

$\frac{A}{2}=\frac{1}{2.\left ( 1+2 \right )}+\frac{1}{2.\left ( 1+2+3 \right )}+\frac{1}{2.\left ( 1+2+3+4 \right )}+.....$

$\frac{A}{2}=\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+....$

Hay:

$\frac{A}{2}=\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+....$

Suy ra:

$\frac{A}{2}=\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+....+\frac{1}{2014.2015}$

$\frac{A}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+....+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}$

$\frac{A}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2015}=\frac{2013}{2.2015}$

Vậy:

$A=\frac{2013}{2015}$

Gọi T là tập hợp các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các số 1,2,3,4,5,6,7. Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập T . 
Tập xác suất để số được chọn lớn hơn 2015 . 

Một cách khác:

Nhận xét: Các số lập được có chữ số hàng nghìn $\geq 2$ thì đều $> 2015$, vì các số có vai trò như nhau do đó nếu coi tất cả các số lập được là 7 phần bằng nhau thì XS cần tìm là $\frac{6}{7}$

Trong số 16 hs có 3 Hsg 5 khá 8 trung bình . Có bao nhiêu cách chia số hs đó thành 2 tổ , mỗi tổ 8 hs sao cho mỗi tổ đều có hsg và mỗi tổ có ít nhất 2 hs khá

Xin góp một lời giải khác:

Ta thấy nếu chọn được 8 hs lập thành 1 tổ thì 8 hs còn lại đương nhiên lập thành tổ kia. Ta có 2 trường hợp:

- Tổ gồm 1 hs giỏi+2 hs khá+5 hs TB: $C_{3}^{1}.C_{5}^{2}.C_{8}^{5}=1680$

- Tổ gồm 1 hs giỏi+3 hs khá+4 hs TB: $C_{3}^{1}.C_{5}^{3}.C_{8}^{4}=2100$

Số cách chia tổ thỏa yêu cầu đề bài:$1680+2100=3780$ cách

Câu 5:

Gọi:

- S: Tập họp tất cả các cách sắp xếp.

- T, H, O lần lượt là tập hợp các cách sắp xếp 2 chữ T, H, O gần nhau.  

Ta cần tìm:

$\left | S \right |-\left | T\cup H \cup O \right |=\left | S \right |-\left ( \left | T \right |+\left | H \right |+\left | O \right |-\left | T\cap H \right |-\left | T\cap O \right |-\left | H\cap O \right |+\left | T\cap H\cap O \right | \right )$

Với:

$\left | S \right |=\frac{10!}{2!.2!.2!}=453600$

$\left | T \right |=\left | H \right |=\left | O \right |=\frac{9!}{2!.2!}=90720$

$\left | T\cap H \right |=\left | T\cap O \right |=\left | H\cap O \right |=\frac{8!}{2!}=20160$

$\left | T\cap H\cap O \right |=7!=5040$

Vậy số cách xếp theo ycđb:

$453600-(3.90720-3.20160+5040)=271160$

^{Có một số anh chị làm ra 630 là sai rồi, em nghĩ là khi rải trước như thế thì sẽ bị trùng trường hợp. Không phải trùng ở đoạn sau khi mình chọn 2 học sinh từ 7 học sinh còn lại mà là trùng ở 3 em được chọn trước. Vì vậy cách giải cho ra kết quả 173 mới đúng. Nhưng bài kiểm tra của em có một cau cũng tương tự tuy nhiên lại có thêm một điều kiện nữa là phải có ít nhất 2 em khối 10 được chọn. Vậy phải làm sao ạ ?}

Nếu ý bạn là:

Có 5 em lớp 12, 3 em lớp 11, 2 em lớp 10. Chọn ra 5 em để lập đội bóng, sao cho khối 12 và 11 có ít nhất 1 em và khối 10 có 2 em được chọn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

thì mình giải như sau:

Chọn 3 em khối 12 và khối 11: $C_{8}^{3}-\left ( C_{5}^{3}+C_{3}^{3} \right )=56-11=45$

Số cách chọn 2 em khối 10:$ C_{2}^{2}=1$

Số cách chọn theo yêu cầu: $1.45=45$ cách

 

Còn bài đầu, theo mình:

Có 5 em lớp 12, 3 em lớp 11, 2 em lớp 10. Chọn ra 5 em để lập đội bóng, sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Chọn 5 em tùy ý: $C_{10}^{5}$

Chọn 5 em khối 12 hoặc khối 11: $C_{8}^{5}$

Chọn 5 em khối 12 và khối 10: $C_{7}^{5}-C_{5}^{5}$

Chọn 5 em khối 11 và khối 10: $C_{5}^{5}$

Số cách chọn thỏa yêu cầu: 

$C_{10}^{5}-\left ( C_{8}^{5}+C_{7}^{5}-1+1 \right )=252-\left ( 56+21 \right )=175$ cách

Tổng cách sắp 10!

Tổng cách sắp để có ít nhất hai học sinh nam kề nhau $9!C_{4}^{2}$

Số cách sắp để không có hai học sinh nam nào kề nhau: 10!-9!6=9!4

Chỗ bôi đỏ có vấn đề...

Có 6 nữ và 4 nam xếp thành một hàng ngang . Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ sao không có 2 nam nào đứng cạnh nhau ?

Cho 4 nam đứng thành hàng tạo thành 5 vị trí để xếp các bạn nữ vào các vị trí này.

Gọi các $x_{i} $ với $i=\overline{1,5}$ là các bạn nữ. Ta có pt:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=6 $ với $x_{1}, x_{5}\geq 0; x_{2},x_{3},x_{4}\geq 1$

Đổi biến ta được:

$y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}=3 $ với $ y_{i}\geq 0$

Số nghiệm: $C_{7}^{3}=35$

Vậy số cách xếp theo yêu cầu là:

$35.4!.6!=604800$ cách

Mik làm tắt nha:

Gọi số lít của thùng 1, 2, 3 lần lượt là a, b, c, theo bài ra ta có :

a-b+ 3(a-b) = 4a -ab =12 (1)

b+b-2c= 2(a-c) =12          (2)

c+2c-3(a-b)= 3(c+b-a)=12(3)

Từ (1), (2), (3) ==> c=7, b= 13, a=16 

Mình xin đóng góp ý kiến:

Theo mình nghĩ, toán bậc tiểu học nên hạn chế tối đa việc đặt ẩn giải phương trình cho nên ta có thể giải quyết bài toán này bằng PP tính ngược từ cuối như người ra đề đã yêu cầu.

Mình xin đề nghị lời giải:

- "chuyển từ thùng thứ 3 sang thùng thứ nhất sô nước mắm gấp 3 lần số nước mắm còn lại trong thùng thứ nhất": như vậy, sau khi chuyển xong,thùng thứ 1 có 3+1=4 phần nên số nước mắm (NM) thùng thứ 1 còn lại trước khi chuyển là: 12:4=3(lít) 

và số NM ở thùng thứ 3 trước khi chuyển là: 3x3+12=21(lít)

- "chuyển từ thùng thứ hai sang thùng thứ 3 số nước mắm gấp hai lân số nước mắm hiện có trong thùng thứ 3": lúc này số NM ở thùng thứ 3 là 2+1=3 phần. Vậy thùng thứ 3 lúc đầu chứa: 21:3=7(lít)

và số NM ở thùng thứ 2 chuyển qua thùng thứ 3 là: 7x2=14 (lít) 

- "chuyên từ thùng thứ nhất sang thùng thứ 2 số nước mắm bằng số nước mắm hiện có trong thùng thứ 2" lúc này lúc này số NM ở thùng thứ 2 là 1+1=2 phần do đó: 2(p)-14=12. Vậy thùng thứ 2 lúc đầu chứa: (12+14):2=13(lít)

và số NM thùng thứ 1 chứa lúc đầu là: 13+3= 16(lít)

 

giải đề này giúp em với, lâu quá ko học toán ứng dụng nên em quên mất rồi

 

Trong 20 bộ đề thi toán ứng dụng, có 4 đề thi khó, chọn 2 đề trong bộ đề thi đó để làm đề thi lần 1 và lần 2. Tính xác suất để :

a/ Cả 2 đề điều khó

b/ Có đúng 1 đề khó

 

Số phần tử KG mẫu:

$\left | \Omega  \right |=A_{20}^{2}$

a/ $A$ là biến cố "cả 2 đề đều khó"

Số cách chọn cả 2 đề đều khó: $A_{4}^{2}$

Do đó: 

$P\left ( A \right )=\frac{A_{4}^{2}}{A_{20}^{2}}=\frac{3}{95}$

b/ $B$ là biến cố "có 1 đề khó"

Số cách chọn 2 đề trong đó có 1 đề khó: $A_{4}^{1}.A_{16}^{1}$

Do đó: 

$P\left ( B \right )=\frac{A_{4}^{1}.A_{16}^{1}}{A_{20}^{2}}=\frac{16}{95}$

Variation:

Hai đại gia bất động sản $A$ và $B$ thi đấu tennis. Tính xác suất để cuộc thi đấu kết thúc lần lượt trong 3, 4, 5 ván. Biết rằng xác suất để đại gia $A$ thắng mỗi ván là $\frac{2}{3}$ và cuộc thi kết thúc khi có 1 đại gia thắng $3$ ván.

a/ Cách chọn 3 quả cầu trong đó có quả cầu số 8:

+ với 2 quả số 6 hoặc số 7: $2$ cách

+ với 2 quả số 1-5: $1.C_{5}^{1}.C_{3}^{2}=15$ cách

b/ Cách chọn 3 quả cầu trong đó có quả cầu số 6, số 7 (không có số 8):

+chỉ có số 6 và số 7: $2.C_{2}^{1}=4$ cách

+với các quả 1-5: $2.\left ( C_{5}^{1}.C_{3}^{2}.C_{2}^{1}+C_{15}^{1}.1 \right )=90$ cách

c/ Cách chọn 3 quả cầu từ số 1 đến 5:

$C_{5}^{1}.C_{3}^{2}.12=180$ cách

XS cần tìm:

$\frac{2+15+4+90+180}{C_{20}^{3}}=\frac{291}{1140}=\frac{97}{380}$

 

 

Có 52 quân bài trong 1 bộ tú lơ khơ. Lấy ngẫu nhiên 5 con bài. Hỏi có bao nhiêu cách lấy sao cho 2 con thuộc 1 bộ tứ, 2 con thuộc 1 bộ tứ khác và 1 con thuộc 1 bộ tứ khác nữa!


P/s: bộ tứ nha!

Ta thấy có $13$ bộ tứ.

Chọn $2$ bộ tứ: $C_{13}^{2}$

Chọn 2 lá bài trong mỗi bộ tứ: $\left (C_{4}^{2} \right )^{2}$

Chọn $1$ trong $44$ lá bài (trừ 8 lá bài của 2 bộ tứ đã chọn): $44$

Số cách lấy là:

$C_{13}^{2}.\left (C_{4}^{2} \right )^{2}.44=78.6^{2}.44=123552$ cách.

Bài 1: Có bao nhiêu xâu nhị phân dài $n$ bit mà số bit $0$ là số lẻ?

Số xâu dài n bit: $2^{n}$

Số xâu dài n-1 bit: $2^{n-1}$

Ta thấy mỗi  xâu dài $n-1$ bit khi thêm bit cuối là $0$ và $1$ sẽ tạo được $2$ xâu dài $n$ bit  điều này cũng có nghĩa là số xâu nhị phân dài $n$ bit có số bit $0$ là số lẻ là $2^{n-1}$ xâu.