phamthingochuyen

bài tập nguyên bản bằng tiếng anh, giải dùm mình với...

Help me....

Cảm ơn bạn nhiều nha..hihi

Xl bạn hi,mình ghi nhầm chữ "có" là cps nak...

Bạn viết đề khó đọc quá. Trong bài của bạn đâu có chỗ nào có chữ "cm".

Cho $M \ne 0$ là 1 module với module con $N$, và $x \in M-N$. CM:
a. Tồn tại module $K$ cực đại sao cho $N \subset K$ và $x \notin K$
b. Nếu $M= Rx+ N$, thì $M$ có 1 module con cực đại với $N \subset K$ và $x \notin K$

Đề như vầy đúng không bạn? Chữ "cps" trong đầu đề của bạn nghĩa là gì? Nếu đề như vầy thì câu (b) follows từ câu (a) rồi.

Tóm lại, câu (a) ta dựa vào Zorn's Lemma. Gọi $\Sigma=\{P \subset M| N \subset P \text{ và } x \notin P\}$. Ta thấy $\Sigma \ne \emptyset$ vì $N \in \Sigma.$ Bây giờ ta chỉ cần chứng minh mọi chuỗi tăng dần trong $\Sigma$ có 1 upperbound trong $\Sigma$ thì theo Zorn's Lemma, $\Sigma$ sẽ có 1 phần tử cực đại (tức là 1 module con cực đại $K$ sao cho $N\subset K$ và $x \notin K$).

Gọi $P_0 \subset P_1 \subset P_2 \subset \dots$ là 1 chuỗi tăng dần trong $\Sigma$. Gọi $K= \bigcup_i P_i$. Rõ ràng $K$ là upperbound của chuỗi này. Ta muốn chứng minh $K \in \Sigma$, tức là $N \subset K \subset M$ và $x \notin K$. Dễ thấy $N \subset K$. Với mọi $\alpha \in K$ thì $\alpha \in P_i$ nào đó, nên $\alpha \in M$. Nên $K \subset M$. Dễ thấy, nếu $x\in K$ thì $x\in P_i$ nào đó, mâu thuẫn. Nên $x\notin K.$

Vì vậy theo Zorn's Lemma, ta có đpcm.