Senju Hashirama

Thế để mình chứng minh Mình sẽ chứng minh theo kiểu <=9/4 nha và bạn sẽ thấy nó đúng 

 

$\sum \frac{1}{1+x^{2}}\leq \frac{9}{4} <=> \sum \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\geq \frac{3}{4}$

     Cauchy swarch Và dễ chứng minh được điều này nha 

                   $\frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}\geq \frac{3}{4}$
Vậy VT<=9/4<1+3căn3/4

cách của bạn ngược dấu mất rồi 

Lời giải:

 Ta có $LHS=\frac{1}{x+y}\left ( \frac{x+y+2z}{z^{2}+1} \right )+\frac{1}{z^{2}+1}=\frac{1}{z^{2}+1}\left ( 2+ \frac{2z}{x+y}\right )$

   Lại có : $z^{2}+1=\left ( x+z \right )\left ( y+z \right )\leq \frac{\left ( x+y+2z \right )^{2}}{4}\Rightarrow 2(\sqrt{z^{2}+1}-z)\leq x+y$

$\Rightarrow LHS\leq \frac{1}{z^{2}+1}\left ( z\left ( \sqrt{z^{2}+1}+z \right )+2 \right ) =1+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{1}{z^{2}+1}$

Mình nghĩ phải là $\frac{z}{z^{2}+1}$  chứ nhỉ 

VN TST 2014 

Câu hàm điều kiện (3) và câu a  kì vậy, có phải sai đề ko nhỉ 

Ta có : $\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}=\frac{1}{a+b}\left ( \frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c} \right )=\frac{ab+1}{(a+b)\left ( 1+c^2 \right )}$

Lại có: $ab+bc+ca=1\Rightarrow ab+1=2-c(a+b) \Rightarrow \frac{ab+1}{a+b}=\frac{2}{a+b}-c$

            $c^{2}+1=(c+a)(c+b)\leq \frac{(a+b+2c)^2}{4}\Rightarrow a+b\geq 2\left ( \sqrt{c^2+1}-c \right )$

Từ đó ta có : $\frac{ab+1}{(a+b)(1+c^2)}\leq \frac{1}{1+c^2}\left ( \frac{1}{\sqrt{c^2+1} -c}-c \right )=\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}$

$\Rightarrow P\leq \frac{1+3c}{\sqrt{1+c^2}}=\sqrt{10}-\frac{\left ( c-3 \right )^2}{\sqrt{c^2+1}}\leq \sqrt{10}$

 Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\sqrt{10}-3,c=3$

Ta có : $\sum \frac{a}{b}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{ab+bc+ca}$

Ta cần chứng minh :$(a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ca)=\sqrt{27\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left ( ab+bc+ca \right )^2}$

Dễ thấy : $\sqrt{27\left ( a^2+b^2+c^2 \right )(ab+bc+ca)^2}\leq \sqrt{\left ( a+b+c \right )^6}=(a+b+c)^3$

 Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$