Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Senju Hashirama

Đăng ký: 10-05-2015
Offline Đăng nhập: 13-06-2020 - 08:31
-----

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Cho $x, y, z > 0 \in \mathbb{R}$ thỏa...

28-11-2016 - 16:15

Thế để mình chứng minh Mình sẽ chứng minh theo kiểu <=9/4 nha và bạn sẽ thấy nó đúng 

 

$\sum \frac{1}{1+x^{2}}\leq \frac{9}{4} <=> \sum \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\geq \frac{3}{4}$

     Cauchy swarch Và dễ chứng minh được điều này nha 

                   $\frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}\geq \frac{3}{4}$
Vậy VT<=9/4<1+3căn3/4

cách của bạn ngược dấu mất rồi 

 

Lời giải:

 Ta có $LHS=\frac{1}{x+y}\left ( \frac{x+y+2z}{z^{2}+1} \right )+\frac{1}{z^{2}+1}=\frac{1}{z^{2}+1}\left ( 2+ \frac{2z}{x+y}\right )$

   Lại có : $z^{2}+1=\left ( x+z \right )\left ( y+z \right )\leq \frac{\left ( x+y+2z \right )^{2}}{4}\Rightarrow 2(\sqrt{z^{2}+1}-z)\leq x+y$

$\Rightarrow LHS\leq \frac{1}{z^{2}+1}\left ( z\left ( \sqrt{z^{2}+1}+z \right )+2 \right ) =1+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{1}{z^{2}+1}$

 

Mình nghĩ phải là $\frac{z}{z^{2}+1}$  chứ nhỉ 


Trong chủ đề: $f(x^2+y+f(y))=2y+f^2(x)$

18-10-2016 - 21:39

VN TST 2014 


Trong chủ đề: ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH NINH BÌNH NĂM 2016-2017

14-10-2016 - 19:34

Câu hàm điều kiện (3) và câu a  kì vậy, có phải sai đề ko nhỉ 


Trong chủ đề: $\frac{a}{1+a^{2}}+\frac...

13-10-2016 - 21:10

Ta có : $\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}=\frac{1}{a+b}\left ( \frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c} \right )=\frac{ab+1}{(a+b)\left ( 1+c^2 \right )}$

Lại có: $ab+bc+ca=1\Rightarrow ab+1=2-c(a+b) \Rightarrow \frac{ab+1}{a+b}=\frac{2}{a+b}-c$

            $c^{2}+1=(c+a)(c+b)\leq \frac{(a+b+2c)^2}{4}\Rightarrow a+b\geq 2\left ( \sqrt{c^2+1}-c \right )$

Từ đó ta có : $\frac{ab+1}{(a+b)(1+c^2)}\leq \frac{1}{1+c^2}\left ( \frac{1}{\sqrt{c^2+1} -c}-c \right )=\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}$

$\Rightarrow P\leq \frac{1+3c}{\sqrt{1+c^2}}=\sqrt{10}-\frac{\left ( c-3 \right )^2}{\sqrt{c^2+1}}\leq \sqrt{10}$

 Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\sqrt{10}-3,c=3$


Trong chủ đề: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

13-10-2016 - 20:21

Ta có : $\sum \frac{a}{b}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{ab+bc+ca}$

Ta cần chứng minh :$(a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ca)=\sqrt{27\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left ( ab+bc+ca \right )^2}$

Dễ thấy : $\sqrt{27\left ( a^2+b^2+c^2 \right )(ab+bc+ca)^2}\leq \sqrt{\left ( a+b+c \right )^6}=(a+b+c)^3$

 Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$