Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Senju Hashirama

Đăng ký: 10-05-2015
Offline Đăng nhập: 13-06-2020 - 08:31
-----

#663285 Cho $x, y, z > 0 \in \mathbb{R}$ thỏa...

Gửi bởi Senju Hashirama trong 28-11-2016 - 16:15

Thế để mình chứng minh Mình sẽ chứng minh theo kiểu <=9/4 nha và bạn sẽ thấy nó đúng 

 

$\sum \frac{1}{1+x^{2}}\leq \frac{9}{4} <=> \sum \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\geq \frac{3}{4}$

     Cauchy swarch Và dễ chứng minh được điều này nha 

                   $\frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}\geq \frac{3}{4}$
Vậy VT<=9/4<1+3căn3/4

cách của bạn ngược dấu mất rồi 

 

Lời giải:

 Ta có $LHS=\frac{1}{x+y}\left ( \frac{x+y+2z}{z^{2}+1} \right )+\frac{1}{z^{2}+1}=\frac{1}{z^{2}+1}\left ( 2+ \frac{2z}{x+y}\right )$

   Lại có : $z^{2}+1=\left ( x+z \right )\left ( y+z \right )\leq \frac{\left ( x+y+2z \right )^{2}}{4}\Rightarrow 2(\sqrt{z^{2}+1}-z)\leq x+y$

$\Rightarrow LHS\leq \frac{1}{z^{2}+1}\left ( z\left ( \sqrt{z^{2}+1}+z \right )+2 \right ) =1+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{1}{z^{2}+1}$

 

Mình nghĩ phải là $\frac{z}{z^{2}+1}$  chứ nhỉ 




#657761 $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Gửi bởi Senju Hashirama trong 13-10-2016 - 20:21

Ta có : $\sum \frac{a}{b}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{ab+bc+ca}$

Ta cần chứng minh :$(a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ca)=\sqrt{27\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left ( ab+bc+ca \right )^2}$

Dễ thấy : $\sqrt{27\left ( a^2+b^2+c^2 \right )(ab+bc+ca)^2}\leq \sqrt{\left ( a+b+c \right )^6}=(a+b+c)^3$

 Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$




#657535 Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia tỉnh Quảng Ninh ngày 1 2016-2017

Gửi bởi Senju Hashirama trong 11-10-2016 - 20:10

Bài 2: 

Gọi $P(x,y)$ là phép thế cho $x,y$ : $f(x^2+2f(y))=2y+f^2(x)$   $(1)$

Đặt $f(0)=a$ . $P(0,y)\Rightarrow f(2f(y))=2y+ a^2$

$P(x,2f\left ( y-\frac{a^{2}}{2} \right ))\Rightarrow f(x^2+4y)=2f(y-\frac{a^2}{2})+f^2(x)$   $(2)$

Thế $x=0$ vào $(2)$ $\Rightarrow f(4y)=2f(y-\frac{a^{2}}{2})+a^2\Rightarrow f(x^2+4y)=f(4y)+f^2(x)-a^2$  $(3)$

Thế $y=0$ vào $(3)$ $\Rightarrow f(x^2)=a+f^2(x)-a^2$

Từ đó $\Rightarrow f(x^2+4y)=f(4y)+f(x^2)-a$

Đặt $g(x)=f(x)-a$. Ta có : $g(x+y)=g(x)+g(y)$ với $x\geq 0$ , $\forall y$

Dễ thấy $g(0)=0$ và $g(x)$ lẻ $\Rightarrow g(x+y)=g(x)+g(y)$ với $\forall x,y$

$P(x,0)\Rightarrow f(x^2+4f(0))=f^2(x)\Rightarrow f(x^2+4f(0))-f(0)=f^2(x)-f(0)\geq -f(0)$

$\Rightarrow g(x)\geq -f(0)$   $\Rightarrow g(x)=ax\Rightarrow f(x)=ax+b$ .

Thế vào $(1)$ $\Rightarrow f(x)=x$




#656250 Đề thi chọn đội tuyển Quốc gia tỉnh Thanh Hóa năm 2016-2017(vòng 2)

Gửi bởi Senju Hashirama trong 01-10-2016 - 19:27

Câu 1 : Thực chất là đề IMO shortlist 2009 câu A2

http://www.artofprob...h355781p1932917




#656134 Đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia vòng II thành phố Hà Nội 2016-2017

Gửi bởi Senju Hashirama trong 30-09-2016 - 19:53

$P\left ( x,y \right )$ là phép thế cho $x,y$ : $f\left ( x^{2}-f^{2}(y) \right )=xf(x)+y^2$  $(1)$

1, Ta chứng minh $f(0)=0\Leftrightarrow x=0$

Đặt $-f^2(0)=a$ .$P\left ( 0,0 \right )\Rightarrow f\left ( a \right )=0$

$P(0,a)\Rightarrow f(0)=a^2\Rightarrow f(0)=0\vee f(0)=1$

Xét $f(0)=1$ , $P(-1,0)\Rightarrow f(0)=-f(-1)$ (vô lý ) do $f(0)=1$ và $f(-1)=f(a)=0$

$\Rightarrow f(0)=0.$Do đó $P(x,0)\Rightarrow f(x^2)=xf(x) (*) \Rightarrow$ với $f(y)=0$ , từ $(1)$ $\Leftrightarrow y=0$

2/ Ta chứng minh $f$ toàn ánh.

Từ $(*)$ dễ thấy $f$ là hàm lẻ với $x\neq 0$. Lại có $P(0,x)\Rightarrow f\left ( -f^2 (x)\right )=x^2$ 

Từ đó $\Rightarrow f$ toàn ánh 

3/ Chứng minh $f(x)=-x$

Từ các phép thế trên , ta có $f\left ( x^2-f^2(y) \right )=f(x^2)+f(-f^2(y))$ .Lại có $f$ toàn ánh và hàm lẻ $\Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)$

Từ $(*)$ $\Rightarrow f((x+1)^2))=(x+1)f(x+1)\Rightarrow f(x^2)+2f(x)+f(1)=x(f(x)+f(1))+f(x)+f(1)\Rightarrow f(x)=xf(1)$

$\Rightarrow f(x)=kx$ với $f(1)=k$. Thế vào $(1)$ dễ thấy $k=-1$. 

Vậy $f(x)=-x$




#656007 $P=\sqrt{ab+a}+\sqrt{bc+b}+\sqrt...

Gửi bởi Senju Hashirama trong 29-09-2016 - 19:46

Ta có : $2ab+2a-a^{2}=a\left ( 2b+2-a \right )\geq 0\Rightarrow \sqrt{2\left ( ab+a \right )}\geq a$

 Tương tự $\Rightarrow \sum \sqrt{ab+a}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

 Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left ( a,b,c \right )=\left ( 0,0,2 \right )$ và các hoán vị 




#654484 Đề thi chọn đội tuyển quốc gia tỉnh Quảng Bình

Gửi bởi Senju Hashirama trong 17-09-2016 - 14:02

Bài 5 là Iran TST 2013.

Bài 7 là bài 5 IMO 2009 




#651203 Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c ta có : 2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^...

Gửi bởi Senju Hashirama trong 25-08-2016 - 13:49

Bài 2: Ta có : $\left ( a^{2}+b+c \right )\left ( 1+b+c \right )\geq \left ( a+b+c \right )^{2}$  $\Rightarrow \sqrt{\frac{a^{2}}{ a^{2}+b+c}} \leq \frac{a\sqrt{b+c+1}}{a+b+c}$

Tương tự $\Rightarrow LHS\leq \sum \frac{a\sqrt{b+c+1}}{a+b+c}\leq \frac{2\sum ab + 4\sum a}{2\sqrt{3}\left ( a+b+c \right )}\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}+6(a+b+c)}{3\sqrt{3}(a+b+c)} \leq \sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

 

Bài 3: 

Ta có : $\sum \frac{a+b+1}{a+b^{2}+c^{3}}\leq \sum \frac{(a+b+1)\left ( a+1+\frac{1}{c} \right )}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$

Ta sẽ chứng minh :

 $\sum \left ( a+b+1 \right )\left ( a+1+\frac{1}{c} \right )\leq \left [ \prod \left ( a+1 \right )+1 \right ]\left ( a+b+c \right )$

 Nhưng đây là đẳng thức với $abc=1$  $\Rightarrow $ ĐPCM

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$




#649966 $f\left ( f\left ( x \right )+y \right )=f\left...

Gửi bởi Senju Hashirama trong 16-08-2016 - 22:09

Tim tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , thỏa mãn 

 $f\left ( f\left ( x \right )+y \right )=f\left ( x+y \right )+xf(y)-xy-x+1$




#647386 $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+2...

Gửi bởi Senju Hashirama trong 31-07-2016 - 20:15

Từ $(1)$ $\Rightarrow \left ( \sqrt{x+2}-\sqrt{y} \right )\left [ \sqrt{x+2} \left ( \sqrt{x+2}+\sqrt{y} \right )+1 \right ]=0$

$\Rightarrow x+2=y$

Từ đó thế vào $(2)$ giải dễ rồi  :D  :D




#646395 $\sum \frac{x^{2}+y^{2}}{x+...

Gửi bởi Senju Hashirama trong 25-07-2016 - 10:34

Đây là 1 bài toán quen thuộc, mình xin gõ lại lời giải bằng '' yếu tố ít nhất'' của thầy Cẩn  :D  :D  :D

Do BĐT thuần nhất , chuẩn hóa cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ 

BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{\left ( x+y \right )^{2}+\left ( x-y \right )^{2}}{2(x+y)}\geq 3$

Ta có :  $LHS\geq x+y+z+\frac{\left ( x-z \right )^{2}}{x+y+z}=\frac{\left ( x-z \right )^{2}+\left ( y-x \right )\left ( y-z \right )}{x+y+z}+x+y+z+\frac{\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )}{x+y+z}$

 =$\frac{9}{2\left ( x+y+z \right )}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{\left ( x-y \right )\left (y-z \right )}{x+y+z}\geq 3+\frac{\left ( x-y \right )\left (y-z \right )}{x+y+z}$

Bài toán đc chứng minh nếu ta có : $\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\geq 0$

 Đúng nếu cho $y$ nằm giữa $x,z$

Đẳng thức xảy ra tại $x=y=z=1$




#644865 $\frac{a^m+b^m+c^n}{a^n+b^n+c^n}\ge (...

Gửi bởi Senju Hashirama trong 13-07-2016 - 22:24

Không mất tính tổng quát , giả sử $a\geq b\geq c$   

$\Rightarrow a^{n}\geq b^{n}\geq c^{n}$ và  $a^{m-n}\geq b^{m-n}\geq c^{m-n}$

Áp dụng BĐT $Chebyshev$ , ta có 

$\sum a^{m}\geq \frac{1}{3}\sum a^{n}.\sum a^{m-n}$

Tương tự , ta có :

$\sum a^{m-n}\geq \frac{1}{3}\sum a^{m-n-1}\sum a$

Cứ như vậy ta có ĐPCM 




#644698 $\sum \frac{1}{\sqrt{4a^{2}...

Gửi bởi Senju Hashirama trong 12-07-2016 - 17:56

Áp dụng BĐT $Holder$ ,ta có :

$\left ( \sum \frac{1}{\sqrt{4a^{2}+bc}} \right )^{2}\left [ \sum \left ( b+c \right )^{3}\left ( 4a^{2}+bc\right ) \right ]\geq 8 \left (a+b+c \right )^{3}$

Ta sẽ chứng minh : 

   $8\left ( a+b+c \right )^{5}\geq 16 \sum \left ( b+c \right )^{3}\left ( 4a^{2}+bc \right )$ 

Chuẩn hóa cho $a+b+c=1$ , $q=ab+bc+ca$ , $r=abc$ , ta có :

 BĐT $\Leftrightarrow 1\geq 2\left ( 4q-15r+22qr+q \right )$ 

    $\Leftrightarrow 2r\left ( 15-22q \right )-8q^{2}-2q+1\geq 0$

 

Xét $4q-1\leq 0 \Rightarrow \left ( 1-4q \right )\left ( 2q+1 \right )\geq 0$  (Luôn đúng )

Xét $4q-1\geq 0\Rightarrow LHS\geq \frac{2\left ( 15-22q \right )\left ( 4q-1 \right )}{9}-8q^{2}-2q+1$

                                $= \frac{\left ( 4q-1 \right )\left ( 21-62q \right )}{9}\geq 0$

   Luôn đúng do $q\leq \frac{1}{3}<\frac{21}{62}$

   Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$ và $a=b,c=0$ và các hoán  vị 




#644560 $Min P=\frac{a^3}{b^2+1}+\frac{b^3...

Gửi bởi Senju Hashirama trong 11-07-2016 - 20:17

Đặt $a=\frac{y}{x},b=\frac{z}{y},c=\frac{x}{z}$

$P=\sum \frac{y^{5}}{x^{3}\left ( z^{2} +y^{2}\right )}\geq \frac{(\sum x^{3})^{2}}{xyz(\sum x^{2}z )+\sum x^{3}y^{3}}$

Lại có : $3xyz\leq \sum x^{3}$

$\sum x^{2}z\leq \sum x^{3}$

$3\sum x^{3}y^{3}\leq \left ( \sum x^{3} \right )^{2}$

$\Rightarrow P\geq \frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1




#643939 $\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{(1...

Gửi bởi Senju Hashirama trong 07-07-2016 - 09:58

APMO 2005  :D