Senju Hashirama

Bảy đa giác đều có diện tích là $1$ nằm trong hình vuông có độ dài cạnh là $2$ . Chứng minh rằng có ít nhất 2 đa giác cắt nhau với diện tích phần chung không nhỏ hơn $\frac{1}{7}$

Cho $a,b,c,d>0$ . Chứng minh $\frac{(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)(b+d)}\geq \sqrt{abcd}$

Dễ thấy $a^{3}+b^{3}\geq ab\left ( a+b \right )\Rightarrow a^{3}+b^{3}+abc\geq ab\sum a\Rightarrow \frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{c}{abc\sum a}$

Tương tự cộng lại ta có ĐPCM

Không mất tính tổng quát , giả sử : $x\geq y\geq z\Rightarrow x^{3}\geq y^{3}\geq z^{3}$ và $\frac{1}{y^{2}+z^{2}}\geq \frac{1}{z^{2}+x^{2}}\geq \frac{1}{x^{2}+y^{2}}$

Áp dụng bđt CHEBYSHEV, ta có :

$\sum \frac{x^{3}}{y^{2}+z^{2}}\geq \frac{1}{3}.\left ( \sum x^{3} \right )\left ( \sum \frac{1}{y^{2}+z^{2}} \right )$

Áp dụng bđt HOLDER, ta có:

$3\left ( \sum x^{3} \right )^{2}\geq \left ( \sum x^{2} \right )^{3}\Rightarrow \sum x^{3}\geq \frac{\sum x^{2}}{\sqrt{3}}.\sqrt{\sum x^{2}}$

Lại có : $\sum \frac{1}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{9}{2\sum x^{2}}$

$\Rightarrow \sum \frac{x^{3}}{y^{2}+z^{2}}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Cho $a,b,c>0$ chứng minh : 

     $P=\frac{a^{6}}{a^{5}+b^{5}}+\frac{b^{6}}{b^{5}+c^{5}}+\frac{c^{6}}{c^{5}+a^{5}}\geq \frac{a+b+c}{2}$

 

Bài1:Tìm các số tự nhiên a,b,c(a$\leq$b$\leq$c) thỏa mãn đẳng thức:

(a+$\frac{1}{a}$)(b+$\frac{1}{b}$)(c+$\frac{1}{c}$)=2

Bài 2:Cho a,b,c>0 thỏa a+b+c=6abc

Chứng minh $\frac{bc}{a^{3}(c+2b)}$+$\frac{ca}{b^{3}(a+2c)}$+$\frac{ab}{c^{3}(a+2b}$$\geq$2

Bài 3:Cho a,b,c>0

Chứng Minh:$\frac{25a}{b+c}$+$\frac{16b}{a+c}$+$\frac{c}{a+b}$$\geq$8 

 

Bài 2 : 

                       Từ giả thiết , ta có  : $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=6$

            Đặt  $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\Rightarrow xy+yz+zx=6$

  Ta có BĐT tương đương :

                                           $\frac{x^{3}}{y+2z}+\frac{y^{3}}{z+2x}+\frac{z^{3}}{x+2y}\geq 2$

                                         Áp dụng BĐT CAUCHY-SCHWARZ, ta có :

             $\sum \frac{x^{3}}{y+2z}=\sum \frac{x^{4}}{xy+2xz}\geq \frac{\left ( \sum x^{2} \right )^{2}}{3\sum xy}\geq \frac{\sum xy}{3}=2$

 Ta có điều cần chứng minh.

      Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Bài 3 : 

                      áp dụng BĐT CAUCHY-SCHWARZ, ta có :

 $\frac{25a}{b+c}+\frac{16b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+25+16+1=\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{25}{a+b}+\frac{16}{a+c} +\frac{1}{a+b}\right )=\frac{1}{2}\left ( a+b+b+c+c+a \right )\left ( \frac{25}{b+c}+\frac{16}{a+c} +\frac{1}{a+b}\right )\geq \frac{(5+4+1)^{2}}{2}=50$

 Từ đó ta có điều phải chứng minh 

  Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \frac{b+c}{5}=\frac{a+c}{4}=\frac{a+b}{1}$

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1.CMR:

$\frac{1}{(x+1)^2(y+z)}+\frac{1}{(y+1)^2(x+z)}+\frac{1}{(1+z)^2(x+y)}\leq \frac{3}{8}$

Bổ đề (Vasile Cirtoaje)  Cho các số thực dương $x,y,z$. Chứng minh rằng :

$\sum \sqrt{\frac{x}{x+y}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Chứng minh bổ đề :

Áp dụng bđt CAUCHY-SCHWARZ, ta có:

$\left ( \underset{cyc}{\sum}\dfrac{x}{x+y} \right )^{2}\leq \left [ \underset{sym}{\sum}(x+z) \right ]\left [ \underset{cyc}{\sum}\dfrac{x} {(x+y)(x+z)} \right ]=\dfrac{4(x+y+z)(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

Ta có đánh giá quen thuộc :

$8(x+y+z)(xy+yz+zx)\leq 9(x+y)(y+z)(z+x)$

Nên :

$\left ( \underset{cyc}{\sum}\dfrac{x}{x+y} \right )^{2}\leq \dfrac{9}{2}$

Từ đó bổ đề được chứng minh

Quay lại bài toán :

Vì $abc=1$ nên ta đặt $a=\dfrac{x}{y},b=\dfrac{y}{z},c=\dfrac{z}{x}$ với $x,y,z>0$.

Ta cần chứng minh :

$\underset{cyc}{\sum} \dfrac{1}{\left ( \dfrac{x}{y}+1 \right )^2\left ( \dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x} \right )}=\underset{cyc}{\sum} \dfrac{xy^2z}{(x+y)^2(xy+z^2)}\leq \dfrac{3}{8}\Leftrightarrow \underset{cyc}{\sum }\sqrt{\dfrac{x^2y^4z^2}{(x+y)^4)(xy+z^2)^2}}\leq \dfrac{3}{8}$

Ta có :

$(x+y)^4=(x-y)^4+8xy(x^2+y^2)\geq 8xy(x^2+y^2)$

và 

 $(xy+z^2)^2\geq 4xyz^2$

Ta chỉ cần chứng minh :

$\underset{cyc}{\sum }\sqrt{\dfrac{x^2y^4z^2}{8xy(x^2+y^2).4xyz^2}}\leq \dfrac{3}{8}\Leftrightarrow \underset{cyc}{\sum }\sqrt{\dfrac{y^2}{x^2+y^2}}\leq \dfrac{3}{\sqrt{2}}$

Điều này luôn đúng theo bổ đề . Bài toán được chứng minh.