KAT

Ta cm bổ đề sau:

$\frac{QN}{PM}=\frac{BI^{2}}{CI^{2}}$

Ta có NQ.QM=QA.QB (1)

         PM.PN=PA.PC    (2)

Suy ra$\frac{NQ}{PM}=\frac{QB}{QM}.\frac{PN}{PC}$

Dễ CM $\bigtriangleup BIC\sim \bigtriangleup BQM\sim \bigtriangleup NPC$

Do đó dễ có điều phải cm.

Quay lại bài toán:

Gọi $Y=TF\bigcap BI,Z=TE\bigcap IC$

Do QT//BY, PT//CZ nên

$\frac{TF}{YF}=\frac{QF}{BF},\frac{TE}{EZ}=\frac{PE}{CE}$

Áp dụng Menelaus cho tam giác BQM cát tuyến NFI và tam giác CPN cát tuyến MEI

ta có$\frac{QF}{BF}.\frac{BI}{MI}.\frac{NM}{NQ}=1$, $\frac{PE}{CE}.\frac{IC}{IN}.\frac{MN}{MP}=1$

Áp dụng bổ để trên và lưu ý $\frac{BI}{CI}=\frac{NI}{MI}$

suy ra$\frac{TE}{ZE}=\frac{TF}{FY}$ suy ra EF//YZ

Áp dụng bổ đề hình thang cho EFYZ ta suy ra TI đi qua trung điểm EF

Cảm ơn anh đề rất hay ạ!