alt3

$\left\{\begin{matrix} y^{2}+x+xy-6y+1=0\\ y^{3}x-9y^{2}+x^{2}y+x=0 \end{matrix}\right.$ tương đương $\left\{\begin{matrix} (y^{2}+x)+(xy+1)=6y\\(y^{2}+x)(xy+1)=10y^{2} \end{matrix}\right.$

Đặt $y^2+x=a$ $xy+1=b$

hệ tương đương với

$\left\{\begin{matrix} a+b=6y & & \\ ab=10y^2& & \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{(a+b)^2}{ab}=\frac{18}{5}\Leftrightarrow 5a^2-8ab+5b^2=0$ (vô nghiệm). Vậy hệ vô nghiệm!!

còn trường hợp $a=b=0$ thì sao ?

Trong quấn "Toán nâng cao HÌNH HỌC -279 bài toán chọn lọc " e cũng thấy nói qua nhưng không hiểu làm thế nào xác định được điểm P ạ?

Cho tam giác ABC cố định .Tìm quỹ tích M thỏa mãn

                                 $\left | \vec{MA}+2\vec{MB}+3\vec{MC} \right |=12$

Gọi E;F lần lượt là trung điểm của BC;AC

Chọn điểm I sao cho:

$\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

  Ta có : $(a+b+c)^2\leq (a^2+1)\left [ 1+(b+c)^2 \right ]$

  Nên ta chỉ cần chứng minh : 

  $3\left [ 1+(b+c)^2 \right ]\leq 4(1+b^2)(1+c^2)\Leftrightarrow (b-c)^2+(2bc-1)^2\geq 0$

  Từ đó có điều cần chứng minh

   Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\pm \frac{1}{\sqrt2}$

 

Spoiler

Có một cách chứng minh sử dụng Dirichlet nữa như sau

 Ta có : BĐT $\Leftrightarrow 4a^2b^2c^2+4\sum a^2b^2+\sum a^2+4\geq 6\sum ab$

 Theo nguyên lí Dirichlet, giả sử

$$(2a^2-1)(2b^2-1)\geq 0\Leftrightarrow c^2(2a^2-1)(2b^2-1)\geq 0\Leftrightarrow 4a^2b^2c^2+c^2\geq 2a^2c^2+2b^2c^2$$

 Nên ta cần chứng minh

$$4\sum a^2b^2+a^2+b^2+4+2a^2c^2+2b^2c^2\geq 6\sum ab$$

$$\Leftrightarrow (a-b)^2+(2ab-1)^2+\frac{3(2bc-1)^2}{2}+\frac{3(2ac-1)^2}{2}\geq 0$$

 Chứng minh xong

 

 

$a;b;c >0$ sao dấu bằng lại xảy ra khi $a=b=c=\pm \frac{1}{\sqrt2}$  được ?

cái này vì từ đk nên ta có $0\leq sinA,sinB,sinC\leq 1$

 

nhân tiện thì anh gửi cho em cái bản mới hơn của tài liệu trên,cái trên cũ lắm rồi,nhiều lỗi sai lắm

phương pháp đổi biến trong bdt.pdf

 

Cảm ơn anh nhiều . Nhưng ở bài 2 cái đầu bằng $cosC=1;sinC=1$ đâu có xảy ra đồng thời!

Anh giải thích nốt giúp em với ! 

Cái File hình như bị lỗi rồi anh ơi !

Ta có $\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}\Rightarrow (\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n}.x^{\frac{1}{n}-1}=\frac{\sqrt[n]{x^{1-n}}}{n}$

Để đưa về chỗ màu đỏ có cần đk gì không ạ?