Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Minhnguyenthe333

Đăng ký: 20-05-2015
Offline Đăng nhập: 05-02-2020 - 10:23
****-

#665708 Đường tròn ngoại tiếp tam giác IJD đi qua một điểm cố định

Gửi bởi Minhnguyenthe333 trong 24-12-2016 - 10:22

Cho tam giác ABC nhọn. Một điểm D thay đổi trên BC. Gọi I,J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD và ACD.

a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác IJD luôn đi qua một điểm cố định

b) Gọi P,M là tiếp tuyến của (I) với AB,BC; gọi N,Q là tiếp tuyến của (J) với AC,BC. Gọi X là giao điểm của PM và NQ. Chứng minh XD vuông góc với IJ




#664837 Mấy bạn giải giúp mình tích phân này với

Gửi bởi Minhnguyenthe333 trong 16-12-2016 - 20:51

Tính

Cận dưới phải khác $0$ và tích phân trên cách làm giống như $\int \frac{dx}{x^3\ln x}$

Chú ý rằng $d\left ( \frac{1}{\ln x} \right )=\frac{-dx}{x\ln^2x}$ và $x^2=e^{2\ln x}$. Khi đó đặt $t=\frac{1}{\ln x}$ thì

 

$\int_{k}^{+\infty} \frac{dx}{x^3\ln x}=-\int_{k}^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2}d\left ( \frac{1}{\ln x} \right )=-\int_{k}^{+\infty} \frac{dt}{te^{\frac{2}{t}}}=\int_{k}^{+\infty} \frac{e^{-u}}{u}du=-E_1(2\ln x)$   (trong đó $u=\frac{2}{t}$)

 

P/s: Ở trên là hàm tích phân mũ cấp 1...




#663986 $\int _{-1}^{\sqrt{2}} x^2...

Gửi bởi Minhnguyenthe333 trong 06-12-2016 - 18:22

Tính tích phân: $\int _{-1}^{\sqrt{2}} x^2 \sqrt{4-x^2} dx$

Đặt $x=2\sin t$ thì $dx=2\cos tdt$ và sử dụng $\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}$

$\int_{-1}^{\sqrt{2}} x^2\sqrt{4-x^2}dx=4\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^22tdt=2t-\frac{\sin(4t)}{2}=\frac{5\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}$




#663851 $p\mid 2m-n$

Gửi bởi Minhnguyenthe333 trong 05-12-2016 - 11:49

Cho $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ và 2 số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn $\gcd(m,n)=1$ và

                $\frac{1}{0^2+1}+\frac{1}{1^2+1}+\frac{1}{2^2+1}+....+\frac{1}{(p-1)^2+1}=\frac{m}{n}$

Chứng minh rằng:  $p\mid 2m-n$




#663210 $\sum \frac{ab}{3+bc}\leq\frac...

Gửi bởi Minhnguyenthe333 trong 27-11-2016 - 18:22

Cho $a,b,c\geq 0$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $\sum \frac{ab}{3+bc}\leq\frac{3}{4}$

$VT=\frac{abc(a^2b+b^2c+c^2a)+9(ab+bc+ca)+3abc+3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}{a^2b^2c^2+9abc+9(ab+bc+ca)+27}$

+Áp dụng bđt Cauchy: $\sum_{cyclic} (a^3+a^2b+ab^2)\geqslant 3(a^2b+b^2+c^2a)\iff a^2+b^2+c^2\geqslant a^2b+b^2c+c^2a$

 

+Đổi biến $p,q,r$ thì ta được: $VT\leqslant \frac{3q^2-2qr+9q}{r^2+9r+9q+27}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{3q^2-2qr+9q}{r^2+9r+9q+27}\leqslant \frac{3}{4}\iff 3r^2+r(8q+27)-(12q^2+9q-81)\geqslant 0$ $(*)$

Ta xét 2 trường hợp:
$q\leqslant \frac{9}{4}:$ Theo Schur bậc 1 thì $r\geqslant \max\{0,\frac{p(4q-p^2)}{9}\}=\max\{0,\frac{4q-9}{3}\}=0$

Thế thì $(*)\geqslant (q+3)(\frac{9}{4}-q)\geqslant 0$

$\frac{9}{4}\leqslant q\leqslant 3:$ Theo Schur bậc 2 thì $r\geqslant \frac{(4q-p^2)(p^2-q)}{6p}=\frac{(4q-9)(9-q)}{18}$

Do đó $(*)\geqslant (q-3)(q-\frac{9}{4})(4q^2-117q+81)\geqslant 0$

 

Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)\sim (1,1,1);(0,\frac{3}{2},\frac{3}{2})$ và các hoán vị




#659208 GPT: $11+10^x+6^x=(\sqrt{3})^{y!}$ với...

Gửi bởi Minhnguyenthe333 trong 24-10-2016 - 20:22

Giải phương trình sau trên tập số nguyên:

$11+10^x+6^x=(\sqrt{3})^{y!}$

Từ giả thiết suy ra $x,y>0\iff 10+10^x+6^x=3^{\frac{y!}{2}}-1$

Ta có: $v_2(3^{\frac{y!}{2}}-1)=1+v_2(\frac{y!}{2})=1+v_2(y!)-v_2(2)=v_2(y!)$

Dễ thấy $v_2(10+10^x+6^x)=v_2(2)+v_2(5+2^{x-1}5^x+2^{x-1}3^x)=1$

Suy ra $2||y!$ kéo theo $y=2$ hoặc $y=3$

Từ đây ta tìm được $(x,y)=(1,3)$




#659206 $a_n=(p+1)^n+Q(n)$

Gửi bởi Minhnguyenthe333 trong 24-10-2016 - 20:05

Cho $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng $\forall m\in \mathbb{Z}$ luôn tồn tại đa thức $Q(x)$ với hệ số nguyên sao cho $p^m$ là ước lớn nhất của các số $a_n=(p+1)^n+Q(n)$ với $n=1,2,..$




#658804 Đề thi lập đội tuyển dự thi Học sinh giỏi Quốc gia lớp 12 THPT, tỉnh Thái Ngu...

Gửi bởi Minhnguyenthe333 trong 22-10-2016 - 19:23

Bài 2: 

$f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+(y+1)f(x)+(x+1)f(y)$ $(1)$

Thay $x=y=0$ ta được $f(0)=0$ hoặc $f(0)=2$

+)Nếu $f(0)=0$:

Thay $x=-y=1$ suy ra $3f(-1)=f(1)f(-1)$

Nếu $f(-1)=0$ thì thay $y=-1$ suy ra $f(x-1)=f(-x)$ $\forall x \in \mathbb{R}$ $(2)$

Thay $y$ bởi $-y$ và áp dụng $(2)\implies f(x-y)+f(x)f(y-1)=f(xy-1)+(1-y)f(x)+(x+1)f(y-1)$

Khi đó thay $y=2$ và $x=1$ ta được $f(1)=0$ hoặc $f(1)=2$

Nếu $f(1)=0$ thì ta suy ra $f(x)=0$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Nếu $f(1)=2$ thì thay $y=1$ vào $(1)$ suy ra $f(x+1)=f(x)+2(x+1)$

Quy nạp ta được $f(x)=x^2+x$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Nếu $f(-1)\neq 0$ thì $f(1)=3$. Khi đó thay $y=1$ vào $(1)$ suy ra $f(x)=3x$ 

+)Nếu $f(0)=2$ thì thay $y=0$ ta được $f(x)=x+2$

Thử lại thấy hàm $f(x)=3x$, $f(x)=0$ và $f(x)=x^2+x$ thỏa mãn $\blacksquare$




#658625 $\prod_{i=1}^n (a_i!-1)-9$

Gửi bởi Minhnguyenthe333 trong 20-10-2016 - 21:52

Tìm tất cả bộ số nguyên dương $(a_1,a_2,...,a_n)$ sao cho $\prod_{i=1}^n (a_i!-1)-9$ là số chính phương




#658358 Tìm $ord_{3^{n}}\left ( 2 \right )$

Gửi bởi Minhnguyenthe333 trong 18-10-2016 - 21:11

Tìm $ord_{3^{n}}\left ( 2 \right )$

Tìm $ord_{2^{n}}\left ( 3 \right )$

Bổ đề: $2^{2.3^{n-1}}\equiv 1+3^n \pmod{3^{n+1}}$

Giả sử đúng tới $n$ thì ta chứng minh với $n+1$ thì mệnh đề trên vẫn đúng

Ta cần chứng minh $2^{2.3^n}\equiv 1+3^{n+1} \pmod{3^{n+2}}$

$\iff 2^{2.3^n}+2\equiv 3.2^{2.3^n} \pmod {3^{n+1}}\iff 4^{3^n}\equiv 1 \pmod{3^{n+1}}$

Hiển nhiên đúng vì $v_3(4^{3^n}-1)=v_3(3)+v_3(3^n)=n+1$ $\blacksquare$

 

Trở lại bài toán: 

Ta sẽ chứng minh $\text{ord}_{3^n} (2)=\varphi (3^n)=2.3^{n-1}$ theo quy nạp

Giả sử đúng tới $n$ thì ta chứng minh $n+1$ thì điều khẳng định đúng

Theo định lý Euler thì $2^{\varphi(3^{n+1})}\equiv 2^{2.3^{n}}\equiv 1 \pmod{3^{n+1}}$

$\implies  2^{2.3^{n}}\equiv 1 \pmod{3^{n}}$

Đặt $d=\text{ord}_{3^{n+1}}$ thì $d\mid 2.3^{n}$ và $\varphi(3^n)=2.3^{n-1}\mid d$

$\implies d=2.3^n$ hoặc $d=2.3^{n-1}$

Nếu $d=2.3^{n-1}$ thì theo bổ đề$\implies 2^{2.3^{n-1}}\equiv 1+3^n \pmod{3^{n+1}}$ (vô lí)

Vậy $ d=\text{ord}_{3^{n+1}}=2.3^n$ nên theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm $\blacksquare$




#658341 $(q+1)\mid prod_{i=1}^k (p_i+1)$

Gửi bởi Minhnguyenthe333 trong 18-10-2016 - 20:36

Kí hiệu $\mathbb{P^*}$ là tập tất cả các số nguyên tố bé hơn $10000$, giả sử $p\in \mathbb{P^*}$.Với mỗi tập con $S=\{p_1,p_2,..,p_k\}$ của $\mathbb{P^*}$ không chứa $p$ và với $k\geqslant 2$, tồn tại 1 phần tử $q\in \mathbb{P^*}\setminus S$ sao cho $(q+1)\mid \prod_{i=1}^k (p_i+1)$. Tìm tất cả các số $p$ thỏa mãn tính chất trên

 




#657125 $x^2+y^2=n(x+1)(y+1)$

Gửi bởi Minhnguyenthe333 trong 08-10-2016 - 18:07

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình sau có nghiệm nguyên dương 

$x^2+y^2=n(x+1)(y+1)$

Ta chứng minh không tồn tại $n$ thỏa mãn

$\iff x^2-xn(y+1)+y^2-n(y+1)=0$

Cố định tập nghiệm, giả sử $x\geqslant y$ và $x+y$ đạt min

Theo Viete ngoài nghiệm $x$ còn nghiệm $t$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} t+x=n(y+1)\\ tx=y^2-n(y+1)\end{matrix}\right.$

Nếu $t=0\implies y^2=n(y+1)\iff y\mid n$ hay $y+1 \mid y$ (vô lí)

Nếu $t<0\implies t^2-tn(y+1)+y^2-n(y+1)=0$

mà $ t^2-tn(y+1)+y^2-n(y+1)=t^2+y^2+n(y+1)(-t-1)>0$ (mâu thuẫn)

Vậy $t>0\implies t\geqslant x\geqslant y$ vì tính nhỏ nhất của $x+y$

Khi đó $xn(y+1)=x(t+x)\leqslant 2tx=2[y^2-n(y+1)]$

Lại có $x\geqslant y\implies 2[y^2-n(y+1)]\geqslant ny(y+1)\iff y^2(2-n)\geqslant n(3y+2)>0$

Kéo theo $n=1\implies x^2+y^2=x+y+xy+1\iff (x+y)(x+y-1)=2xy+1$ ( vô lí vì VT chẵn mà VP lẻ)

 

Kết luận: Không tồn tại $n$ nguyên dương thỏa mãn $\blacksquare$




#656541 Đề thi chọn đội tuyển quốc gia THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội vòng 2 năm 2016

Gửi bởi Minhnguyenthe333 trong 03-10-2016 - 06:12

bạn giải thích đoạn này cái


$ab=a^2-2b^2\iff (a-2b)(a+b)=0$ với $a=f(2x)$ và $b=f(x)$


#656525 Đề thi chọn đội tuyển quốc gia THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội vòng 2 năm 2016

Gửi bởi Minhnguyenthe333 trong 02-10-2016 - 22:47

Ngày 2.

 

Bài 1. Tìm $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn :

\[2f(x)\cdot f(x+y)-f(x^2)=\frac{1}{2}x(f(2x)+4f(f(y)))\]

 

Câu 1:

Kí hiệu $P(x,y)$ là phép thế giá trị $x,y$

$2f(x)\cdot f(x+y)-f(x^2)=\frac{1}{2}x[f(2x)+4f(f(y))]$ $(1)$
$P(0,y)\implies f(0)=0$
$P(x,0)\implies 4f^2(x)-2f(x^2)=xf(2x)$ $(2) 

Thay vào $(1)\implies f(x)f(x+y)=f^2(x)+xf(f(y))$ $(3)$

$P(x,-x)\implies f^2(x)=-xf(f(-x))$ $(4)$

$P(2x,-x)$ và áp dụng $(4)\implies f(2x)f(x)=f^2(2x)-2f^2(x)$

$\iff \left [ f(2x)-2f(x) \right ]\left [ f(2x)+f(x)  \right ]=0\iff f(2x)=2f(x)$ hoặc $f(2x)=-f(x)$
 

TH1: $ f(2x)=2f(x)$

$P(x,x)\implies4f^2(x)-f(x^2)=xf(x)+2xf(f(x))$

Áp dụng $(2)$ và $(4)$ $\implies f^2(x)=xf(f(x))=f^2(-x)$

Nếu $f(x)=f(-x)$ thì $f(x)$ là hàm chẵn, khi đó thay $y=-2x$ vào $(3)$

$\implies f(x)f(-x)=f^2(x)+xf(f(-2x))\iff f(f(-2x))=0 \forall x\in \mathbb{R}\implies f(f(x))=0$

Khi đó $f(x)=f(x+y)\forall y\in \mathbb{R}$ suy ra $f(x)=0$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Nếu $f(x)=-f(-x)$ thì $f(x)$ là hàm lẻ, khi đó:

$P(x,-y)\implies f(x)f(x-y)=f^2(x)+f(f(-y))=f^2(x)+f(-f(y))=f^2(x)-f(f(y))$

Cộng vế theo vế$\implies f(x-y)+f(x+y)=2f(x)=f(2x)=f(x+y+x-y)$

$P(\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})\implies f(x)+f(y)=f(x+y)$   $\forall x,y\in \mathbb{R}$

Thay vào $(3)\implies f(x)f(y)=xf(f(y))$

Thay $y=1\implies f(x)f(1)=xf(f(1))$

Dễ thấy nếu thay $x=-y=1$ ta được $f(1)=1\implies f(x)=x$

 

TH2: $f(2x)=-f(x)$

$P(1,0)\implies f(1)=0$ hoặc $f(1)=\frac{1}{4}$

Nếu $f(1)=0$ thì $P(1,y)\implies f(f(y))=0$

Tương tự suy ra $f(x)=0$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Nếu $f(1)=\frac{1}{4}$ thì thay $x=y=1$ suy ra $f(\frac{1}{4})=-\frac{1}{8}$

$\implies f(\frac{1}{8})=-f(\frac{1}{4})=\frac{1}{8}$

Khi đó thay $x=y=\frac{1}{8}$ vào $(1)$ suy ra vô lí

 

Thử lại thấy có 2 hàm $f(x)=x$ và $f(x)=0$ thỏa mãn $\blacksquare$




#655821 Đề thi chọn đội tuyển quốc gia THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội vòng 2 năm 2016

Gửi bởi Minhnguyenthe333 trong 28-09-2016 - 10:45

:v..