Minhnguyenthe333

Câu V:

$f(x^2-2yf(x))+f(y^2)=f^2(x-y)$ $(1)$

Đặt $G(x)=x-f(x)\implies f(x)=x-G(x)$ suy ra $(1)\iff 2yG(x)-G(y^2)=G^2(x-y)-2(x-y)G(x-y)$ $(2)$

Thay $x=y=0\implies G(0)=0$

Thay $y=0\implies G^2(x)-2xG(x)=0\iff G(x)=0$ hoặc $G(x)=2x$

$G(x)=0\implies f(x)=x$ (thỏa)

$G(x)=2x\implies f(x)=-x$ (không thỏa)

Vậy $f(x)=x$ 

KHTN chứ có phải viện toán cao cấp đâu mà Mordell @@

Mình sửa lại rồi 

Câu 1:

Ta xét 2 trường hợp:

TH1: $5^n \mid a^2$

Khi đó đặt $a^2=k.5^n\implies k(k.5^n+1)=5^{n+1}-p^3\iff  p^3+k=5^n(5-k^2)$

Dễ thấy $VP>0\implies$ $k=1$ hoặc $k=2$

$k=1\implies p^3+1=4.5^n\iff \left ( \frac{p+1}{4} \right )(p^2-p+1)=5^n$

Chú ý rằng $\gcd (\frac{p+1}{4},p^2-p+1)=1$ nên $PT$ vô nghiệm

$k=2\implies p^3=5^n-2$ (vô nghiệm theo modulo $5$)

 

TH2: $5^n\mid a^2+1$

Tương tự$\implies p^3-k=5^n(5-k^2)$

Dễ thấy $p^3>k$ nên $k=1$ hoặc $k=2$
$k=1\implies p^3=4.5^n+1$ (vô nghiệm)

$k=2\implies p^3=5^n+2$

$n$ chẵn ta có $3\mid p\implies (p,n)=(3,2)$

$n$ lẻ ta có $p^3-1=5^{n}+1\implies v_2(p^3-1)=v_2(5^n+1)\iff v_2(p-1)=v_2(n)>0$

$\implies 2\mid n$ (vô lí)

 

Kết luận: $(a,p,n)=(7,3,2)$

 

P/s: Đã sửa lại

Tính tích phân sau

\[\int \limits^\frac{1+\sqrt{5}}{2}_0 \dfrac{\left(x^2+1\right)\mathrm{d} x}{x^4-x^2+1}\]

Chú ý rằng: $\frac{x^2+1}{x^4-x^2+1}=\frac{1}{2(x^2+x\sqrt{3}+1)}+\frac{1}{2(x^2-x\sqrt{3}+1)}=\frac{1}{2(x+\frac{\sqrt{3}}{2})^2+\frac{1}{2}}+\frac{1}{2(x-\frac{\sqrt{3}}{2})^2+\frac{1}{2}}$

 

$\implies \int \frac{(x^2+1)dx}{x^4-x^2+1}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{(x+\frac{\sqrt{3}}{2})^2+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{(x-\frac{\sqrt{3}}{2})^2+\frac{1}{4}}$

 

Tới đây đặt $u=x+\frac{\sqrt{3}}{2}\implies du=dx\implies \int \frac{dx}{(x+\frac{\sqrt{3}}{2})^2+\frac{1}{4}}=2\int \frac{2du}{4u^2+1}=2\arctan(2u)=2\arctan(2x+\sqrt{3})$

 

Tương tự, ta tìm được $\int \frac{(x^2+1)dx}{x^4-x^2+1}=\arctan(2x+\sqrt{3})+\arctan(2x-\sqrt{3})$

Tìm tất cả hàm $f: R\rightarrow R$ thỏa mãn: $f(x+f(y))=8x+9y+2016$

Bài 2:

a)Từ giả thiết $\Longrightarrow $ Tồn tại số $k$ nguyên dương sao cho: $m^2=k(m^2-n^2+1)$ $(1)$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $k$ là số chính phương

Đặt $x=\frac{m+n}{2}$ và $y=\frac{m-n}{2}$

$(1)\iff \left ( \frac{m+n}{2}+\frac{m-n}{2} \right )^2=k\left ( 4.\frac{(m+n)}{2}\frac{(m-n)}{2}+1 \right )$

$\iff (x+y)^2=k(4xy+1)\iff x^2+x(2y-4ky)+y^2-k=0$ $(2)$

Cố định tập nghiệm, giả sử $x\geqslant y$ và $x+y$ nhỏ nhất

Theo Vieta, ngoài nghiệm $x$ thì $(2)$ còn nghiệm $t$ nguyên thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} t+x=4ky-2y\\ tx=y^2-k\end{matrix}\right.$

Nếu $y^2-k>0:$

Dễ thấy $t>0\Longrightarrow t\geqslant x\geqslant y$ (vì $x+y$ nhỏ nhất)

$\Longrightarrow t+x=4ky-2y\leqslant 2t \iff 2kxy-xy\leqslant tx$

$\iff 2kxy-xy\leqslant y^2-k \iff k\leqslant \frac{y^2+xy}{2xy+1}\leqslant 1$

$\Longrightarrow k=1\iff n=1$ (vô lí)

Nếu $y^2-k<0\Longrightarrow t<0$

$\Longrightarrow t^2+t(2y-4ky)+y^2-k=(t+y)^2-k(1+4ty)>0$ (vô lí vì $t$ là nghiệm của $(2)$)

Vậy $y^2-k=0\iff k=y^2$ là số chính phương 

 

b) Theo cách chọn trên, thay $k=y^2$ ta thấy bộ $(m,n)=(105,99)$ thỏa mãn

Tìm $f(x)$ sao cho: $\int_{0}^a \sqrt{f'(x)^2+1} dx=\frac{a}{2}$ $(a$ là hằng số)

Cho $a, b$ là các số nguyên dương thõa mãn: $a^2+b^2\vdots ab$

Tính giá trị của biểu thức: $A=\frac{a^2+b^2}{2ab}$

Giải chi tiết nhé!!

Một cách ngắn hơn:

Đặt $d=\gcd(a,b)\iff a=dm$ và $b=dn$ với $\gcd(m,n)=1$

$ab\mid a^2+b^2\iff mn\mid m^2+n^2\implies kmn=m^2+n^2$ với $k$ nguyên dương

Dễ thấy $n\mid m^2$ và $m\mid n^2$ mà $\gcd(m,n)=1$ kéo theo $m=n=1$

$\implies A=1$

Tìm $p,q,n$ thỏa $p,q$ là số nguyên tố ,$n$ là số nguyên dương chẵn và $p^n+p^{n-1}+p^{n-2}+...+p+1=q^2+q+1$

$PT\iff p(p^{n-1}+p^{n-2}+...+p+1)=q(q+1)$ $(*)$

$TH1: p\mid q \implies \left\{\begin{matrix} p=q\\ p^{n-1}+p^{n-2}+...+p+1=q+1\end{matrix}\right.\iff \frac{p^n-1}{p-1}=p+1$

$\iff p^n-1=p^2-1\iff n=2\implies (p,q,n)=(r,r,2)$ với $r$ là số nguyên tố

$TH2: \left\{\begin{matrix} p\mid q+1\\q\mid p^{n-1}+p^{n-2}+...+p+1\end{matrix}\right.$

 

Khi đó đặt $\frac{p^n-1}{p-1}=tq$ và $\frac{q+1}{p}=k$

 

Dễ dàng biến đổi $(*)$ thành $p^2(k^2-kt)-p(k^2+k-t-tk)+k-t=0\implies \Delta=(k-t)^2(k-1)^2$

 

$\implies p=\frac{(k+1)(k-1)\pm (k-t)(k-1)}{2k(k-t)}=\frac{(k+1)\pm (k-1)}{2k}$ kéo theo $p=1$ (vô lí)

 

Vậy $ (p,q,n)=(r,r,2)$ với $r$ là số nguyên tố

Giúp mình nốt bài 1 luôn với.

Đặt $I$ là nguyên hàm cần tìm

$\int 5^{3x}dx=\frac{125^x}{\ln(125)}$

 

Xét $\int \frac{1}{\sqrt[5]{4x-1}}dx$

Đặt $t=\sqrt[5]{4x-1}\iff x=\frac{t^5+1}{4}\implies dx=\frac{5t^4dt}{4}$

$\implies \int \frac{1}{\sqrt[5]{4x-1}}dx=\int \frac{5t^3dt}{4}=\frac{5t^4}{16}=\frac{5(4x-1)^{\frac{4}{5}}}{16}$

 

$\iff I=\frac{\ln|\sin(2x+1)|-2x\cot(2x+1)}{4}+\frac{5(4x-1)^{\frac{4}{5}}}{16}+\frac{125^x}{\ln(125)}$

Mình cũng nghĩ ra cách này rồi nhưng không biết còn cách nào nhanh hơn không.

Mình nghĩ 2 bài này dùng pp tích phân từng phần là hiệu quả nhất rồi...

1) Trước tiên ta tìm $\int \frac{xdx}{\sin^2(2x+1)}$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix}dv=\frac{1}{\sin^2(2x+1)}\iff v=-\frac{cot(2x+1)}{2}\\ u=x\iff du=1\end{matrix}\right.$

 

$\int \frac{xdx}{\sin^2(2x+1)}=-\frac{x\cot(2x+1)}{2}+\int \frac{\cot(2x+1)dx}{2}$

 

Đặt $t=2x+1\iff dt=2dx\implies \int \frac{\cot(2x+1)dx}{2}=\frac{1}{4}\int \cot(t)dt=\frac{\ln|\sin(2x+1)|}{4}$

 

$\implies \int \frac{xdx}{\sin^2(2x+1)}=\frac{\ln|\sin(2x+1)|-2x\cot(2x+1)}{4}$

Mặt khác

$\int 5^{3x}dx=\frac{125^x}{\ln(125)}$

 

Xét $\int \frac{1}{\sqrt[5]{4x-1}}dx$

Đặt $t=\sqrt[5]{4x-1}\iff x=\frac{t^5+1}{4}\implies dx=\frac{5t^4dt}{4}$

$\implies \int \frac{1}{\sqrt[5]{4x-1}}dx=\int \frac{5t^3dt}{4}=\frac{5t^4}{16}=\frac{5(4x-1)^{\frac{4}{5}}}{16}$

 

$\iff I=\frac{\ln|\sin(2x+1)|-2x\cot(2x+1)}{4}+\frac{5(4x-1)^{\frac{4}{5}}}{16}+\frac{125^x}{\ln(125)}$

 

2)Ta tìm nguyên hàm rồi thay số:

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} u=\ln^2(x)\iff du=\frac{2\ln(x)}{x}\\ dv=x^2\iff v=\frac{x^3}{3}\end{matrix}\right.$

 

$\implies \int x^2.\ln^2(x)dx=\frac{2x^2.\ln^2(x)}{3}-\frac{2}{3}\int x^2.\ln(x)dx$

 

Tiếp tục đặt $u_0=\ln(x)\iff du_0=\frac{1}{x}$ và $dv_0=x^2\iff v_0=\frac{x^3}{3}$

 

$\implies \int x^2.\ln^2(x)dx=x^3\left (\frac{\ln^2(x)}{3}-\frac{2\ln(x)}{9}+\frac{2}{27}\right )\iff  \int_{1}^{e} x^2.\ln^2(x)dx=\frac{5e^3-2}{27}$

Tiếp theo: 

Bài 7: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a^3+b^3+c^3=3$. Chứng minh rằng:

$\frac{a^3}{b^2-2b+3}+\frac{2b^3}{c^3+a^2-2a-3c+7}+\frac{3c^3}{a^4+b^4+a^2-2b^2-6a+11}\le \frac{3}{2}$

 

Ta xét mẫu số của 3 phân thức:

Dự đoán $a=b=c=1$ thì DBXR

Chú ý rằng: 

  $b^2-2b+3=(b-1)^2+2\geqslant 2$

  

  $c^3+a^2-2a-3c+7=(c-1)^2(c+2)+(a-1)^2+4\geqslant 4$

 

  $a^4+b^4+a^2-2b^2-6a+11=(a^2-1)^2+3(a-1)^2+(b^2-1)^2+6\geqslant 6$

 

$\Longrightarrow VT\leqslant \frac{a^3}{2}+\frac{2b^3}{4}+\frac{3c^3}{6}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2}=\frac{3}{2}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$

Tìm bộ ba số nguyên dương $(a,b,c)$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix}a+b=\gcd(a,b)^2\\ b+c=\gcd(b,c)^2\\ c+a=\gcd(c,a)^2\end{matrix}\right.$

Từ đó ta thu được $1\leqslant t< 2\Leftrightarrow \frac{1}{2}\leqslant xy< 1$

 

Mình có cách ngắn hơn cho phần này: 

Đặt $t=xy$

Từ giả thiết chú ý rằng: $\sqrt{2xy}\leqslant \frac{1}{2}+xy$

$\Longrightarrow x^4+y^4\leqslant 2-\frac{1}{xy}+xy\iff 2x^2y^2\leqslant 2-\frac{1}{xy}+xy$

$\iff 2t^3-t^2-2t+1\leqslant 0\iff (t+1)(t-1)(2t-1)\leqslant 0\iff \frac{1}{2}\leqslant t \leqslant 1$