Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Min Nq

Đăng ký: 24-05-2015
Offline Đăng nhập: 24-09-2017 - 13:27
*----

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Tuần 3 tháng 8/2017: $PQ$ chia đôi $CD$

17-08-2017 - 19:09

Trong lúc khảo sát trường hợp suy biến của Bài 1 ($BC=DE=0$) thì em có một quan sát như sau:

File gửi kèm  Capture2.JPG   36.42K   18 Số lần tải

 

Gọi $P$ là điểm di động trên cung nhỏ AD của đường tròn ngoại tiếp hình thang cân $ABCD$ ( $AB=CD$ ). $PC$ giao $BD$ tại $N$, $PB$ giao $AC$ tại $M$. $K$ và $L$ lần lượt là hình chiếu của $M,N$ lên $AD$. $NK$ giao $ML$ tại $Q$. Khi đó $PQ$ qua điểm cố định.

 

Với điều kiện $AB=BC=CD$ thì điểm cố định là trung điểm $BC$.


Trong chủ đề: Đề thi chọn đội tuyển TPHCM

21-05-2017 - 10:16

 

Bài 1: Tìm đa thức $P(x)$ khác đa thức không sao cho $[P(x)]^n=P(x^n)$ với $\forall x\in\mathbb R$ và $n\ge 1$.
 
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số khác nhau trong đó các chữ số $1,2,3,4,5$ được sắp xếp theo thứ tự đó từ trái qua phải nhưng các số $1,2,3,4,5,6$ thì không.

 

Bài 1

Từ điều kiện trên suy ra hệ số bậc cao nhất của $P$ là 1.$deg(P)=k,deg(Q)=t,t<k$ với 

$P=x^{k}+Q$

Thay vào đẳng thức đã cho:

$(x^{k}+Q(x))^{n}=x^{kn}+Q(x^n)$

Triệt tiêu $x^{kn}$ ở hai vế:

$\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n}{i}(x^k)^i[Q(x)]^{n-i}=Q(x^n)-[Q(x)]^n$

Mọi hạng tử ở vế trái đều có bậc có dạng $t(n-i)+ki=nt+(k-t)i> nt$

Vế phải có bậc $\leq nt$

Suy ra $Q$ là hằng số. Thử lại suy ra $Q$ đồng nhất $0$. 

Vậy $P=x^k$ với $k$ nguyên dương tùy ý

Bài 2

Có $\binom{10}{6}$ vị trí cho bộ các số từ 1 tới 6. Trong đó có:

  • $\binom{9}{6}$ vị trí không chứa hàng đầu tiên của số có 10 chữ số. Còn lại 4 chữ số ${0,7,8,9}$ có $3.3.2.1$ cách xếp
  • $\binom{9}{5}$ vị trí chứa hàng đầu tiên của số có 10 chữ số. Còn lại ${0,7,8,9}$ có $4!$ cách xếp

Trong mỗi vị trí của bộ 6 nói trên thì số 6 không đứng cuối cùng, nên có 5 khả năng cho số 6. Còn lại các số từ 1 tới 5 thì đã xác định với mỗi khả năng của 6.

Kết luận: Có $(\binom{9}{6}.3.3.2.1+\binom{9}{5}.4!).5$ số có 10 chữ số thỏa mãn


Trong chủ đề: VMF's Marathon Hình học Olympic

08-02-2017 - 22:26

Em muốn trao đổi thêm về bài 165. Vì em có một vài suy luận dẫn đến kết quả sai nhưng chưa tìm ra chính xác lỗi sai ở đâu

 

Giả sử $\frac{AP}{AQ}=\frac{BP}{BQ}\Rightarrow \frac{sinABP}{sinBAP}=\frac{sinABQ}{sinBAQ}\Rightarrow \frac{sinABP}{sinBAP}=\frac{sinCBP}{sinCAP}$

Kết hợp với định lý Ceva dạng lượng giác cho tam giác $ABC$ có $AP,BP,CP$ đồng quy thì suy ra $sinPCA=sinPCB$, dẫn tới $P,Q,C$ thẳng hàng

Vậy nếu quả thực 3 tỉ số đã nói bằng nhau thì $AC$ sẽ là phân giác (trong hoặc ngoài) của tam giác $APQ$. $AI$ là đường phân giác trong cũng của tam giác này. Dẫn đến $AI$ vuông góc $AC$ hoặc $AI$ trùng $AC$. Cả hai khả năng này đều không khả thi.


Trong chủ đề: VMF's Marathon Hình học Olympic

30-01-2017 - 09:26

Bài toán 160. Cho tam giác $ABC$ với đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Gọi $\omega _1,\omega_2,\omega_3$ là các đường tròn nội tiếp của các tam giác $AEF$, $BDF$, $CDE$. Tâm nội tiếp $DEF$ là $J$. $G$ là trọng tâm của tam giác pedal của $J$ đối với tam giác $DEF$. Gọi:
$l_1,l_2,l_3,l_4$ là các tiếp tuyến chung của $\omega_2,\omega_3;$
$m_1,m_2,m_3,m_4$ là các tiếp tuyến chung của $\omega_1,\omega_3;$
$p_1,p_2,p_3,p_4$ là các tiếp tuyến chung của $\omega_1,\omega_2.$
Chứng minh rằng có thể lần lượt chọn trong các bộ $l_i,m_i,p_i(i=\overline{1,4})$ 3 đường $l,m,p$ sao cho $l,m,p,GI$ đồng quy.


Trong chủ đề: VMF's Marathon Hình học Olympic

29-01-2017 - 22:04

Em có một ý tưởng khác cho bài 158

 

Giả sử $ABCD$ là tứ giác lồi và điểm $M$ nằm trong tứ giác, đồng thời có hình vẽ như bên dưới. Các trường hợp khác chứng minh tương tự. Gọi $O$ là tâm ngoại tiếp đường tròn đi qua 4 điểm.

Gọi $X,Y,Z,T$ là đối xứng của $O$ qua các cạnh liên tiếp của tứ giác $ABCD$. Cho điểm $M$ trùng với $O$ thì có thể dự đoán điểm cố định chính là giao điểm của $XZ$ và $YT$. Cũng dễ thấy $XYZT$ là hình bình hành nên 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm $S$.

Vậy ta chứng minh đường thẳng đi qua trung điểm $P_{ab}P_{cd}$ và S sẽ song song với đường thẳng qua trung điểm $P_{bc}P_{ad}$ và $S.$

Đặt lại tên các điểm như hình vẽ dưới.

File gửi kèm  158_2.JPG   40.88K   32 Số lần tải

$\vec{PQ}$ cùng giá với $\vec{KX}+\vec{HZ}$, hay cùng giá với phân giác góc tạo bởi 2 đường $KX$ và $HZ$ do $KX=MO=HZ$ 

Ta dựng thêm một đường phân giác tương tự. 

Việc còn lại chỉ là chứng minh hai đường phân giác này song song với nhau. Việc này có lẽ là đơn giản vì ta đã có cặp $AB,CD$ đối song với hai đường $AD,BC$, cũng như các đoạn đối xứng với $OM$ qua các cạnh :) ?