quanchun98

Xét phép nghịch đảo cực A phương tích k>0 bất kì thì dễ thấy E, F chính giữa cung BC nhỏ và lớn của (ABC). Và dễ thấy MN song song với BC nên đường tròn (AMN) tiếp xúc với (ABC).

(AXY) lần lượt cắt (O), AB, AE, AC tại K', Q, P, R. Kẻ XM, XN vuông góc với AB và AE dễ thấy hai tam giác  XMQ và XNP bằng nhau do đó AQ+AP=AM+AN=AB+AE-BE. Tương tự AP+AR=AE+AC-CE. Do đó AB-AQ=AC-AR hay BQ=CR. Dễ thấy hai tam giác K'QB và K'RC đồng dạng mà BQ=CR nên K'B=K'C nên K' trùng K. Suy ra A,K,X,Y đồng viên.

$\Delta AEH\sim \Delta CDH,\Delta AEM\sim \Delta CDN\Rightarrow \frac{EH}{DH}=\frac{AE}{CD}=\frac{EM}{DN}\Rightarrow \frac{EH}{EM}.\frac{IM}{IN}.\frac{DN}{DH}=1$ suy ra D, E, I thẳng hàng (menelaus dảo).

 Bài toán : Cho các số thực $a,b,c$ không âm thoả mãn $a+b+c\in [3;6]$. Chứng minh : 

$$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{b+1}\geq \sqrt{15+ab+bc+ca}$$

Có hai cái $\sqrt{b+1}$ ak

Từ PT 1 suy ra $2\left ( \sqrt{1-x} \right )^{3}+\sqrt{1-x}=2\left ( y-1 \right )^{3}+y-1\Rightarrow y-1=\sqrt{1-x}$ sau đó rút x ra thế vào PT 2 đặt t=y-1 rồi giải tiếp ( biến đổi tương đương hoặc nhân liên hợp(.