XanCao

CMR: $\frac{1}{(\sqrt1 + \sqrt3)^3}+\frac{1}{(\sqrt3 +\sqrt5)^3}+...+\frac{1}{(\sqrt{2003}+\sqrt{2005})^3} < \frac{11}{90}$

Mong mọi người thứ lỗi vì mình không gõ được theo đúng dạng

Cho hai số nguyên dương x; y có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức:

                        $S=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{3}{4xy}$

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{3}{4xy}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho 2 số không âm, ta có:

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{(1+1)^{2}}{(x+y)^{2}}=\frac{4}{1}=4$ (1)

Ta có:

$x+y=1\Leftrightarrow x=1-y$

$\rightarrow xy=(1-y)y=y-y^{2}=-(y^{2}-y)=-(y-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}\leq \frac{1}{4}$

$\rightarrow 4xy\leq 1$

$\frac{1}{4xy}\geq1$ (2)

(1)(2)$\rightarrow$ $A\geq 4+1=5$

Dấu = xảy ra <-> x=y=0,5