KySuBachKhoa

1. Giải hệ phương trình:

 $\left\{\begin{matrix} x^2+xy-3x+y=0 & \\x^4+3x^2y-5x^2+y^2=0 & \end{matrix}\right.$

2. Giải phương trình:

$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x}=\sqrt{x+9}$

$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}} =\sqrt{x+9}- \sqrt{x}$

$\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}= \frac{9}{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}$

$\Leftrightarrow 8\left ( \sqrt{x+9} +\sqrt{x}\right )^{2} = 81(x+1)$

$\Leftrightarrow 72 +16x+ 16\sqrt{(x+9)x} = 81x+81$

$256x(x+9) =\left ( 65x+9 \right )^{2}$

bạn tìm nghiệm tiếp nhé, dễ rùi

$x^{2}y^{2}-7y^{2} = x^{2} +2xy +y^{2}$

$\Leftrightarrow y^{2}\left ( x^{2} -7\right )= \left ( x+y \right )^{2}$

x=y=0 là nghiệm , xét x $\neq$ 0 suy ra y$\neq$ 0. ta có

$\left ( x^{2}-7 \right )= \left ( 1+\frac{x}{y} \right )^{2}$

suy ra x chia hết cho y và x$x^{2} -7= k^{2}$, k nguyên

$\left ( x-k \right )\left ( x+k \right ) =7$

suy ra x= 4 hoặc x = -4. k =3 hoặc k=-3

x=4 hoặc x= -4  thì y  =1,-1,2,-2,4,-4.  

đến đây bạn thay các giá trị của x và y vào để tìm nghiệm thỏa mãn nhé .

Giải phương trình
$y^{4}+4y^{3}-8y+8\sqrt{1-2y}-8=0$

$y(y^{3}+4y^{2}- 8) =8(1-\sqrt{1-2y}).$

nhân liên hợp ta được y=0 là 1 nghiệm.
$8\leq y^{3}+4y^{2}- 8= \frac{16}{1+\sqrt{1-2y}}\leq 16$

$16\leq y^{3}+4y^{2}\leq 24 , y\leq \frac{1}{2}.$

xét g(y) = $y^{3}+4y^{2} , y\leq \frac{1}{2}$

g'(y) = $y\left ( 3y+4 \right ) =0 \Leftrightarrow y=0, y=\frac{-4}{3}$

$g(y)max =g\left ( \frac{1}{2} \right )= \frac{9}{8} < 8$

Như vậy phương trình còn lại vô nghiệm . 

Nghiệm duy nhất y=0

 từ phương trình thứ 2 ta có $y^{9} = (2-x^{3})^{2}\geq 0$ nên $y\geq 0$

Từ phương trình 1 có $x(x^{2}+ y^{9})= y^{9} + y^{^{7}} \geq 0$ nên $x\geq 0$

$x\geq y,\rightarrow x\geq 1, y\leq 1. \rightarrow y^{3}\leq y^{2}$

Khi đó phương trình 2 trở thành : $x^{2}+y^{2}\leq 2$

Phương trình 1 trở thành : $y^{9}+y^{2}\geq y^{9}+y^{7}\geq x^{2}+ 1.y^{9} \rightarrow y\geq x$

Kết hợp giả thiết suy ra $x = y .$

Vậy nghiệm $x= y= 1$