fairytail19061

Bạn tự vẽ hình nha :3
a)
Dễ dàng chứng minh M,A,N,O cùng nằm trên 1 đường tròn đường tròn đường kính OA
b) 
$\widehat{BMA}=\widehat{MCA}$ ( cùng chắn cung MB)
Lại cùng chung $\widehat{MAB}$
nên $\triangle ABM \sim \triangle AMC$ ( góc - góc)
$\Rightarrow$ $\frac{AB}{MA} = \frac{MB}{CM}$
Suy ra điều phải chứng minh
c)
Dễ dàng chứng minh $\widehat{BMN}=\widehat{BNM}$                                                                ( 1 )
$\widehat{BMA}=\widehat{MNB}$                                                                                                    ( 2 )
( 1 ),( 2 ) $\Rightarrow \widehat{IMB}=\widehat{BMA}$
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác IMA với MB là tia phân giác $\widehat{IMA}$ 
Suy ra $\frac{BA}{BI} = \frac{MA}{MI}$
d) 
Ta có $\frac{IB}{BA}=\frac{MI}{MA}$ $\Rightarrow \frac{IB}{MI}=\frac{BA}{MA}$
 $\frac{AB}{AC}=\frac{AB^{2}}{MA^{2}}$ hay $AB.AC=MA^{2}$ ( hệ thức lượng trong đường tròn)
Dó đó ta có điều phải chứng minh

 Làm tóm tắt thôi nha bạn

- Chứng minh E nằm trong đường tròn thì với tam giác ECD cân có góc đáy bằng $15^{\circ}$ thì tam giác ECD cân ở E
- Gọi E' là điểm nằm trong hình vuông sao cho $\Delta ABE$ đều
- Do đó có thể tính đc các góc của tam giác cân ADE và tam giác cân BEC từ đó cũng rất dễ để chứng minh tam giác E'DC là tam giác cân có góc đáy là $15^{\circ}$
Vậy  $E\equiv E'$
Suy ra điều phải chứng minh

Bài này có trong rất nhiều tài liệu và hầu hết dạng này đều đưa về bất đẳng thức thuần nhất. Trong bài trên thì áp dụng hệ số đưa bđt thành thuần nhất bậc 4 mà hầy hết nếu đưa về thuần nhất thì rất có thể biến đổi tương đương cũng dễ hiểu thui. Nói chung bạn có thể tham khảo nhiều tài liệu khác về bất đẳng thức đối xứng hoặc thuần nhất đều sẽ có những dạng bài này và chắc chắn sẽ gặp đúng bài này luôn

$a^{3}(b+c)+b^{3}(c+a)+c^{3}(a+b)\leq 6$
$\Leftrightarrow a^{3}(b+c)+b^{3}(c+a)+c^{3}(a+b)\leq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$
$\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})+4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})\geq 3ab(a^{2}+b^{2})+3bc(b^{2}+c^{2})+3ac(a^{2}+c^{2})$
$\Leftrightarrow \sum (a^{4}+b^{4}+4a^{2}b^{2})\geq 3ab(a^{2}+b^{2})$
$\Leftrightarrow \sum ((a-b)^{4}+ab(a-b)^{2})\geq 0$  ( đúng với mọi a,b,c thực )
Đẳng thức xảy ra chỉ khi a = b =c
 

Bạn tự vẽ hình được ko

Vẽ đường tròn tâm O bán kính OH tiếp xúc với AB, AC, BC ở E, F, Q
Vẽ đường tròn tâm G bàng tiếp góc $\widehat{BAC}$ tiếp xúc với đoạn BC ở S và tiếp xúc với 2 tia AB, AC lần lượt ở K, T
       Đặt AE = AF = x
             EB = BQ = y
             FC = QC = z 
$P_{ABC}$ = 2 (x + y + z)
Mà $P_{ABC}$ = AK + AT = 2 AK = 2 ( AB +BS) = 2 ( x + y + BS )
$\Rightarrow BS=z=6$
tam giác BOQ đồng dạng tam giác GBS
dễ dàng cm GS = 2 BS = 12
Mà GS = GK nên GK = 12
Với BK = BS = 6
dễ dàng cm KE = 10
EO = 2
Ta có $\frac{x}{AK}$ = $\frac{EO}{KG}= \frac{2}{12}= \frac{1}{6}$
$\Rightarrow \frac{x}{10+x}=\frac{1}{6}$
dễ dàng tìm được x = 2
Từ đó tự tìm đc diện tích