astro00

Đề bài

Trong mp cho đường tròn (O), AB là dây cung cố định không đi qua tâm của (O). Gọi I là trung điểm của AB, M là một điểm trên cung lớn AB (M khác A, B). Vẽ đường tròn (O') đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AB tại A. Tia MI cắt đường tròn (O') tại điểm thứ hai N và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai C.

1. Chứng minh tam giác BIC = tam giác AIN, từ đó cm tứ giác ANBC là hình bình hành.

2. Chứng minh BI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN

3. Xác định vị trí điểm M trên cung lớn AB để diện tích tứ giác ANBC lớn nhất

1. vì AI là tiếp tuyến của (O') => góc NAI=AMN mà góc AMN=ABC => góc NAI=ABC

=> tam giác BIC= tam giác AIN => ANBC là hbh

2. ta có góc NBI=IAC , góc IAC=IMB => góc NBI =IMB => BI là tiếp tuyến của (BMN)

3. vì ANBC là hbh => diện tích ANBC= 2.dtABC lại có C thuộc cung nhỏ AB của (O) => dt ABC lớn nhất khi C là điểm chính giữa cung AB nhỏ => M là điểm chính giữa cung lớn AB

 

2.cho x,y,z>0 và x+y+z=3
tìm min của

$T=\frac{1}{\sqrt{3x+1}}+ \frac{1}{\sqrt{3y+1}}+\frac{1}{\sqrt{3z+1}}$

ta có : $\frac{1}{\sqrt{3x+1}}=\frac{2}{2\sqrt{3x+1}}\geq \frac{4}{3x+5}$

cmtt => $T\geq 4(\frac{1}{3x+5}+\frac{1}{3y+5}+\frac{1}{3z+5})\geq 4.\frac{9}{3(x+y+z)+15}=\frac{3}{2}$

dấu = xảy ra khi x=y=z=1

1. Tìm Max:

Ta có $x^{2}+1\geq 2x;y^{2}+1\geq 2y;z^{2}+1\geq 2z;2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2(xy+yz+zx)\rightarrow 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})+3\geq 2(x+y+z+xy+yz+zx)\rightarrow x+y+z+xy+yz+zx\leq 3$

dấu '=' ở đây không xảy ra