PhanLocSon

Đặt $f(x)=VT-VP$

Dễ thấy hàm số liên tục trên $(0;13)$

Mà $f(0).f(13) < 0$ nên tồn tại $ x \in (0;13) : f(x)=0$ 
Ta có điều phải chứng minh □

Latex =))

T cunxg dùng delta, nhưng ko làm như trên

 

Câu 5 (1,0 điểm).

 

        Tìm tất cả số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix}x^2-2y^2=9 &  & \\ 50<x<100 &  & \end{matrix}\right.$

 

 

 

 

                     

Câu này là câu phân loại
Ta đưa về hệ:
$\left\{\begin{matrix} x^2-2y^2=1 & \\ 17\leq x\leq 33& \end{matrix}\right.$
Phương trình 1 chính là phương trình Pell. Nhưng tôi chưa tìm được cách phù hợp với học sinh THCS nên đành xét các trường hợp.
Tổng cộng có 8 TH của x (x lẻ) cũng như cách của bác Quang!

            SỞ GIÁO DỤC VÀ TÀO ĐẠO                                              ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

                  TỈNH NINH BÌNH                                                                            NĂM HỌC 2015-2016

                                                                                                                                Môn:TOÁN

   $\boxed{\textrm{ĐỀ THI CHÍNH THỨC}}$                                                                          Ngày thi:02/03/2016

                                                                                                    Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

                                                                                                              Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang        

 

 

Câu 3 (1,5 điểm).

 

        Cho các số thực không âm $x,y,z$ đôi một khác nhau đồng thời thỏa mãn $(z+x)(z+y)=1$.Chứng minh rằng:

 

$$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}+\frac{1}{(z+y)^2}\geq 4$$

 

 

                     

Góp cho mọi người 1 bài vậy
BĐT $\Leftrightarrow \frac{1}{(x-y)^2}+(x+z)^2+(y+z)^2\geq 4$
$\Leftrightarrow \frac{1}{(x-y)^2}+(x-y)^2+2\geq 4$ (đúng theo AM-GM)
Đẳng thức xảy ra $(x-y)^2=1$
Cái chỗ đẳng thức em thấy sao sao ý!

Bài 3: (4,0 điểm)

 

a) Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $x+y+z+xy+yz+zx=6$

Chứng minh rằng $x^2+y^2+z^2\geq 3$

b) Cho $a,b,c$ là các số dương. Chứng minh rằng nếu $b$ là số trung bình cộng của $a$ và $c$ thì $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{2}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}$

 

a) Ta có : $2(x^2+y^2+z^2)\geq 2(xy+yz+zx);\\ x^2+1\geq 2x; y^2 +1 \geq 2y; z^2+1\geq 2z \\\Rightarrow 3(x^2+y^2+z^2)+3\geq 2(xy+yz+zx+x+y+z)\geq 12\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2 \geq 3 (dpcm)$

b)Giả sử : $a\leq b \leq c$ 

Ta có: $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{b-a}+\frac{\sqrt{c}-\sqrt{b}}{c-b}=\frac{\sqrt{c}-\sqrt{a}}{b-a}= 2\left ( \frac{\sqrt{c}-\sqrt{a}}{c-a} \right )=\frac{2}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}$ (do b là tbc nên $b-a=c-b$)

Câu tìm a,b,c sai rồi bạn nhé $a=\frac{2b^2}{b^2+1}\leq b$
Tương tự suy ra $a\leq b\leq c\leq a$ suy ra $a=b=c=1$ Nhớ nhận xét a,b,c là các số dương!

Dấu bằng xảy ra khi các bộ số tỉ lệ với nhau nhé bạn

Bài 8 : Chứng minh rằng với mọi bộ ba số lẻ $a,b,c$ ta luôn có : 
$(\frac{a+b}{2},\frac{b+c}{2}.\frac{a+c}{2})=(a,b,c)$ 
 

Gọi $d=(\frac{a+b}{2},\frac{b+c}{2},\frac{c+a}{2})$
Ta có $\left\{\begin{matrix} \frac{c+a}{2}\vdots d & & \\ \frac{a+b}{2}\vdots d & & \\ \frac{b+c}{2}\vdots d & & \\ \end{matrix}\right.$
Suy ra $\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}-\frac{c+a}{2} \vdots d$
Hay $b \vdots d$
Tương tự suy ra $a \vdots d,c \vdots d$
Suy ra đpcm

Nếu nghiệm lẻ thì mình chịu

1, Tìm $x,y$ $\epsilon$ $Q$ thỏa mãn :

 

$\sqrt{x}-\sqrt{y}=\sqrt{2-\sqrt{3}}$

 

2. Tìm $x,y$ $\epsilon$ $N^*$

 

$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1960}$

 

3. Cho $x=\sqrt{2}$ là 1 nghiệm nguyên của phương trình

 

$x^3+ax^2+bx+c=0$

 

Giải pt với $a,b,c$ $\epsilon$ $Q$

$pt \Leftrightarrow x+y-2+\sqrt{3}=2\sqrt{xy}
\Leftrightarrow (x+y-2)^2+3+\sqrt{3}.(x+y-2)=4xy$ Nếu $x+y-2\neq 0$

VP là số hữu tỉ 
Vậy $x+y=2$ và $4xy=3$
Có sai sót thì thông cảm nha

Cho x,y thoả mãn $x^{2}+y^{2}=1$.Tìm min $x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}$

$x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}\leq (x^2+y^2)(1+x+1+y)=2+x+y\leq 2+\sqrt{2(x^2+y^2)}=2+\sqrt{2}$

Bài 149:1) Cho $a, b, c$ là $3$ số không âm thỏa mãn điều kiện : $a^2+b^2+c^2 \leq 2(ab+bc+ca)$ (1) . Chứng minh bất đẳng thức :$(a+b+c) \leq 2( \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} ) $ (2)

Hỏi từ (2) có thể suy ra (1) hay không ? Vì sao ?
2) Cho a, b, c là 3 số không âm thỏa điều kiện (1) và p, q, r là các số thực thỏa $p+q+r=0$ . Chứng minh bất đẳng thức :

$ apq+bqr+crp \leq 0$

$gt\Leftrightarrow (a+b-c)^2\leq 4ab\Leftrightarrow |a+b-c|\leq 2\sqrt{ab}\Leftrightarrow a+b-c\leq 2\sqrt{ab}$
tương tự 
$a-b+c\leq 2\sqrt{ac} -a+b+c\leq 2\sqrt{bc}$
suy ra dpcm
Từ (2) không thể suy ra được vì tới bước bình phương BĐT sẽ đổi chiều nếu 1 trong 3 số lớn hơn tổng 2 số còn lại
 

Bài 148:Cho hai phương trình:

$\begin{array}{l}
{x^2} + \sqrt 2 \left( {a + \dfrac{1}{b}} \right) + \dfrac{{25}}{8} = 0 \\
{x^2} + \sqrt 3 \left( {b + \dfrac{1}{a}} \right) + \dfrac{{75}}{{16}} = 0 \\
\end{array}$
Với $a>0, b>0$ và $a+b=1$
CMR: Một trong hai phương trình trên có nghiệm

Bài 149:1) Cho $a, b, c$ là $3$ số không âm thỏa mãn điều kiện : $a^2+b^2+c^2 \leq 2(ab+bc+ca)$ (1) . Chứng minh bất đẳng thức :$(a+b+c) \leq 2( \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} ) $ (2)

Hỏi từ (2) có thể suy ra (1) hay không ? Vì sao ?
2) Cho a, b, c là 3 số không âm thỏa điều kiện (1) và p, q, r là các số thực thỏa $p+q+r=0$ . Chứng minh bất đẳng thức :

$ apq+bqr+crp \leq 0$

$a>0;b>0 \Rightarrow \sqrt{2}(a+\frac{1}{b})+\frac{25}{8}>0 x^2+\sqrt{2}(a+\frac{1}{b})+\frac{25}{8}>0$

Cũng lâu rồi chưa đăng bài ở đây,mình xin đóng góp 1 số bài toán lấy từ 1 số nguồn(không có bài  hình)

Chúc TOPIC có nhiều bài đăng hay 

Bài 145:Rút gọn các biểu thức :

1) $P=\dfrac{m-n}{\sqrt m -\sqrt n}+m+n+2\sqrt{mn}$
với $m,n \geq 0, m \neq n$
2)$Q=\dfrac{a^2-ab^2}{ab}:\dfrac{\sqrt a -\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b}$
với $a,b>0$

Bài 146:Chứng minh rằng các số có dạng $P= 2^{2m}+2^{2004}$ với m nguyên dương không thể là số chính phương

Bài 147:Tìm a, b để hệ sau có nghiệm duy nhất

\[
\left\{ \begin{array}{l}
xyz + z = a \\
xyz^2 + z = b \\
x^2 + y^2 + z^2 = 4 \\
\end{array} \right.
\]

Bài 148:Cho hai phương trình:

$\begin{array}{l}
{x^2} + \sqrt 2 \left( {a + \dfrac{1}{b}} \right) + \dfrac{{25}}{8} = 0 \\
{x^2} + \sqrt 3 \left( {b + \dfrac{1}{a}} \right) + \dfrac{{75}}{{16}} = 0 \\
\end{array}$
Với $a>0, b>0$ và $a+b=1$
CMR: Một trong hai phương trình trên có nghiệm

Bài 149:1) Cho $a, b, c$ là $3$ số không âm thỏa mãn điều kiện : $a^2+b^2+c^2 \leq 2(ab+bc+ca)$ (1) . Chứng minh bất đẳng thức :$(a+b+c) \leq 2( \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} ) $ (2)

Hỏi từ (2) có thể suy ra (1) hay không ? Vì sao ?
2) Cho a, b, c là 3 số không âm thỏa điều kiện (1) và p, q, r là các số thực thỏa $p+q+r=0$ . Chứng minh bất đẳng thức :

$ apq+bqr+crp \leq 0$

145.1.
$P= \frac{(\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n})}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}+(\sqrt{m}+\sqrt{n})^{2}=(\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n}+1)$
146
$2^{2m}\equiv 1 (mod 3)
2^{2004}\equiv1 (mod3)
\Rightarrow P\equiv 2(mod3)$
mà số chính phương có dạng 3k,3k+1 nên số P không phải là số chính phương

MIk cũng ko biết đúng hay sai nữa  sai cho mik xin lỗi nhé

Ta có: $8^{2} \geq (a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2} \geq (ab + bc + ca)^{2}\Rightarrow -8 \leq ab + bc + ca \leq 8$

Mình cũng ko biết cách làm của bạn đúng hay không? mình không tìm được điểm rơi, bạn giúp nhé 

2. Có lỗi sửa giùm em
$\sum (x+y)\sqrt{(y+z)(z+x)}\geq \sum (x+y)(z+\sqrt{xy}))=\sum ((x+y)z+(x+y)\sqrt{xy}))\geq \sum (zx+yz+2xy)=4(xy+yz+zx)$