aristotle pytago

ý bạn là tìm nghiệm tổng quát

$\frac{(x+y)^{3}}{xy^{2}}=\frac{x^{2}}{y^{2}}+3+\frac{3x}{y}+\frac{y}{x}=(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y}{8x}+\frac{y}{8x})+(\frac{2x}{y}+\frac{y}{2x})+(\frac{x}{y}+\frac{y}{4x})+3\geq \frac{3}{4}+2+1+3=\frac{27}{4}$

1) Cho hình chữ nhật $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường thẳng a,b theo thứ tự là đường trung trực của các đoạn $OC,OD$. Điểm $M$ chạy trên $(O)$. $MA,MB$ theo thứ tự cắt $a,b$ tại $H,K$. Cmr $EF$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

 

ĐỀ SAI RỒI EF là đường nào bạn

Trong đường tròn $(O ; R)$ cho hai dây không qua tâm $CD$ và $EF$ cắt nhau tại điểm $M$ ở trong đường tròn. Các tiếp tuyến tại $C$ và $D$ cắt nhau ở $A$. Các tiếp tuyến tại $E$ và $F$ cắt nhau ở $B$. Chứng minh rằng đường thẳng $OM$ vuông góc với $AB$.

trước hết cần chứng minh bài toán phụ là cho (O) cắt (I) tại C và D . (O) cắt (H) tại E và F . (I) cắt (H) tại N và M chứng minh NM và EF và CD đồng qui


để chứng minh bổ đề trên bạn có thể giả sử CD cắt EF tại L
gọi M" là giao của NL và (H) vậy chỉ cần chứng minh M" thuộc (I) là suy ra M" trung M


để chứng minh M" thuộc (I) bạn có thể dùng phương tích đến đây để rồi bạn có thể tự làm


sau khi chứng minh xong bổ để giờ bạn có thể áp dụng trực tiếp cho (H) là đường tròn ngoại tiếp OEBF và (I) là đường tròn ngoại tiếp OCAD
chứng minh được H là trung điểm OB và I là trung điểm OA vậy vậy theo tình chất đường nối tâm thì IH vuông OM rồi dùng đường trung bình suy ra OM vuông với BA

bdt tương dương

$\frac{4x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+\frac{x^{4}+y^{4}}{x^{2}y^{2}}\geq \frac{4x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+\frac{2(x^{2}+y^{2})^{2}}{x^{2}y^{2}}$(1)

đặt a=$\frac{4x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$

(1) tương dương $a+\frac{2}{a}$ với a$\leq 1$

áp dụng cauchy   $a+\frac{2}{a}$= $2a+\frac{2}{a}-a$$\geq$4-1=3

ta có bổ đề sau

2R.sinC=AB vậy $AB^{2}=4R^{2}.(sinC)^{2}$

chứng minh tương tự $AC^{2}=4R^{2}.(sinB)^{2}$

vậy $AB^{2}+AC^{2}=4R^{2}((sinB)^{2}+(sinC)^{2})$

 để thõa đề thì tam giác ABC phải vuông ở A

có vẻ đề có vấn đề 

đề có vẻ sai rồi nhưng mình có một bài khác khá giống

cho tam giác ABC và H là trực tâm . điểm M là trung điểm BC . qua H kẻ đường thẳng vuông với MH cắt AB và AC tại P và Q chứng minh H là trung điểm PQ . 

Điều kiện: $\frac{-4}{5}\leq x\leq 3$

$(1)\Leftrightarrow 3(\sqrt{5x+4}-2)+3(\sqrt{x+4}-2)=8x-4x^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{15x}{\sqrt{5x+4}+2}+\frac{3x}{\sqrt{x+4}+2}=x(8-4x)$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0 \\ \frac{15}{\sqrt{5x+4}+2}+\frac{3}{\sqrt{x+4}+2}=8-4x \end{bmatrix}$

 

Bạn nào đánh giá phần sau vô nghiệm đi

vậy phương trình đưới bạn giải sao

bài 4 trong tài liệu  http://www.mediafire.com/#w67whs9nww8vr

đầu tiên theo phương pháp 2 ta cần chứng minh $S_{MA_{1}B_{1}}=S_{MC_{1}B_{1}}=S_{MA_{1}C_{1}}$

vậy ta lấy điểm D đối xứng với $A_{1}$ qua M và gọi giao của Mx và BC là T và gọi giao của My và AC là S vậy MTCS nội tiếp nên $\widehat{SCT}+\widehat{TMS}=180$ 

mà $\widehat{DMS}+\widehat{TMS}=180$ 

nên $\widehat{DMS}=\widehat{SCT}$ mà DM=$MA_{1}$=BC(gt)

và $MB_{1}$=AC(gt) vậy $\Delta DMB_{1}=\Delta BCA(C-G-C)\Rightarrow S_{DMB_{1}}=S_{BCA}$

mà DM=$MA_{1}$$\Rightarrow S_{DMB_{1}}=S_{MA_{1}B_{1}}$ vậy $S_{BCA}=S_{MA_{1}B_{1}}$

chứng minh tương tự vậy $S_{MA_{1}B_{1}}=S_{MC_{1}B_{1}}=S_{MA_{1}C_{1}}$ nên M là trọng tâm tam giác$ A_{1}C_{1}B_{1}$

$\frac{x^{4}+2}{x^{2}y+1}=2+\frac{x^{4}-2x^{2}y}{x^{2}y+1}=-1\Rightarrow X^{4}-X^{2}Y+1=0\in N\Rightarrow$

TH1 $\frac{x^{4}-2x^{2}y}{x^{2}y+1}=-1\Rightarrow X^{4}-X^{2}Y+1=0\in N\Rightarrow$ cái này giải dể

TH2 $\frac{x^{4}-2x^{2}y}{x^{2}y+1}$=0

TH3 $\frac{x^{4}-2x^{2}y}{x^{2}y+1}$>0 vậy $\frac{x^{2}(x^{2}-2y)}{x^{2}y+1}\in N \Rightarrow$

là $x^{2} $chia hết$ x^{2}y+1$ hoặc$ (x^{2}-2y)$ chia hết $x^{2}y+1 $xét từng trường hợp thấy $ x^{2}y+1\geq x^{2}>(x^{2}-2y)$

vậy y phải bằng 0 thì$ x^{2} $mới chia hết cho $x^{2}y+1$ rồi kết luận

theo mình bài 1 là tim max dùng erdos-modell trong sách vũ huu bình

gọi Ì là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC  chứng minh I trùng Ì

sách vũ hữu bình nâng cao phát triển toán 9 trang 216

a) khó 

b) dùng $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan ^{2}x}$

nghiệm là (0,0)