ngobaochau1704

hệ thức Euler nha bạn: $d$$=$$\sqrt{R^{2}-2Rr}$

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ để phương trình $x^{2}-(3+2a)x+40-a=0$ có nghiệm nguyên

Với $ \lim\limits_{x \to \infty}{x_{n}}=x$ chứng minh:

$ \lim\limits_{x \to \infty}{\sqrt{x_{n}}}=\sqrt{ \lim\limits_{x \to \infty}{x_{n}}}=\sqrt{x}$

1/ Cho 3 số x, y, z t/m: xyz >0 và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$. Tìm GTNN của biểu thức: P=$\frac{x^{8}+y^{8}+z^{8}}{x^{3}y^{3}z^{3}}$ ?

 

 $a^{8}+b^{8}+c^{8}\geqslant a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+c^{4}a^{4}$

=$(a^{2}b^{2})^{2}+(b^{2}c^{2})^{2}+(a^{2}c^{2})^{2}\geqslant (a^{2}b^{2})(b^{2}c^{2})+(b^{2}c^{2})(c^{2}a^{2})+(a^{2}b^{2})(c^{2}a^{2})$

=$a^{2}b^{2}c^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geqslant a^{2}b^{2}c^{2}(ab+ac+bc)$

Mà $a,b,c>0$ nên $a^{3},b^{3},c^{3}>0$

Vậy $\frac{a^{8}+b^{8}+c^{8}}{a^{3}b^{3}c^{3}}\geqslant \frac{a^{2}b^{2}c^{2}(ab+ac+bc)}{a^{3}b^{3}c^{3}}=\frac{ab+bc+ac}{abc}$

hay $\frac{a^{8}+b^{8}+c^{8}}{a^{3}b^{3}c^{3}}\geqslant\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a;b)$ sao cho $\frac{a^{2}-2}{ab+2}$ là số nguyên

Xét $x>5$ suy ra $x>\sqrt{5x}=\sqrt{x+4x}>\sqrt{x+4.\sqrt{5x}}>....>\sqrt{x+4.\sqrt{x+4+\sqrt{...}}}=VT>x$ (mâu thuẫn) 
Tương tự với $x<5$ 
Vậy $x=5$

còn 1 nghiệm x=0 nữa bạn ơi

$12.$ Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $a$. Hai điểm $M,N$ lần lượt lưu động trên hai đoạn $AB,AC$ sao cho $\frac{AM}{MB}+\frac{AN}{NC}=1$. Đặt $AM=x$ và $AN=y$.

         $a)$ Chứng minh $MN^{2}=x^{2}+y^{2}-xy$

         $b)$ Chứng minh $MN=a-x-y$

         $c)$ Chứng tỏ rằng $MN$ luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

mình mong các bạn có thể đóng góp nhiều bài hay cho topic của mình. Những bài nào đã giải sẽ tô màu đỏ nhé các bạn

$9.$ Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên các cạnh $AB,AC,BC$ lần lượt lấy các điểm $R,P,Q$ sao cho $AR=CP=BQ$. Gọi $E,F,K$ theo thứ tự là hình chiếu của $O$ trên $AB,AC,RP$.

          $a)$ Chứng minh tứ giác $KFPO$ nội tiếp và $K$ là trung điểm của $PR$

          $b)$ Chứng minh $E,K,F$ thẳng hàng

          $c)$ Xác định vị trí của $R$ để tam giác $PQR$ có chu vi lớn nhất.

$10.$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Tia phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt đường tròn $(O)$ tại $A,D$. Đường tròn tâm $D$ bán kính $DB$ cắt đường thẳng $AB$ tại $B,Q$, cắt đường thẳng $AC$ tại $C,P$. Chứng minh rằng: $OA\perp PQ$.

$11.$Cho tam giác đều $ABC$ cạnh bằng $a$ và có trọng tâm $G$. Một đường thẳng bất kì đi qua $G$ cắt cạnh $AB$ và cạnh $AC$ lần lượt tại $R,Q$, cắt tia $CB$ tại $P$($R,Q$ không trùng với một trong 3 đỉnh cảu tam giác $ABC$, $P$ ở ngoài đoạn $BC$)

          $a)$ Tính $BR,CQ$ nếu biết $PB=2PC$

          $b)$ Chứng minh $\frac{1}{GQ}=\frac{1}{GR}+\frac{1}{GP}$ khi $P$ thão mãn $PC>PB$

Một số bài toán đầu tiên :

$1.$ Cho đường tròn $(O;R)$ có dây cung cố định, $AB=R\sqrt{3}$. Điểm $P$ di động trên dây $AB$ ($P$ khác $A,B$). Gọi $(I;R_{1})$ là đường tròn qua $P$ và tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $A$; $(k;R_{2})$ là đường tròn qua $P$ và tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $B$. Hai đường tròn $(I)$ và $(K)$ còn cắt nhau tại điểm $M$ ($M$ khác $P$).

        $a)$ Chứng minh $R=R_{1}+R_{2}$ và tứ giác $MIKO$ nội tiếp

        $b)$ Chứng minh $M$ di động trên một đường cố định

        $c)$ Chứng minh đường thẳng $MP$ luôn đi qua một điểm cố định $N$. Xác định vị trí của $P$ trên $AB$ sao cho $PM.PN$ đạt GTLN.

$2.$ Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. $B,C$ cố định, $D,E$ lần lượt là các điểm chính giữa của các cung nhỏ $AB,AC$. $DE$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $H,K$.

        $a)$ Chứng minh tam giác $AHK$ là tam giác cân

        $b)$ Gọi $I$ là giao điểm của $BE$ và $CD$. Chứng minh rằng đường thẳng $AI$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ lưu động trên cung $BC$

        $c)$ Chứng minh rằng tỉ số $\frac{AH}{HK}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $A$.

$3.$ Cho $\Delta ABC$ có $A<90^{\circ}$, đường cao $AH$ và trung tuyến $AM$. Trên tia $AB$ và $AC$ theo thứ tự lấy điểm $E$ và $F$ sao cho $ME=MF=MA$. Gọi $K$ là điểm đối xứng của $H$ qua $M$. Chứng minh rằng tứ giác $EMKF$ nội tiếp đường tròn.

$4.$ Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(O)$, gọi $D$ là tiếp điểm của $BC$ với đường tròn. Gọi $(O')$ là đường tròn bàng tiếp trong góc $A$ của $\Delta ABC$ và tiếp xúc với $BC$ tại $F$. Vẽ đường kính $DE$ của đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng $A,E,F$ thẳng hàng.

$5.$ Cho $\Delta ABC$ có 3 góc nhọn. Từ điểm $I$ thuộc miền trong của $\Delta ABC$, vẽ $IH\perp BC, IK\perp CA, IL\perp AB(H\in BC, K\in CA, L\in AB)$. Xác định vị trí của điểm $I$ sao cho $AL^{2}+BH^{2}+CK^{2}$ nhỏ nhất.

$6.$ Cho $\Delta ABC$ có các góc đều nhọn. Trên cung nhỏ $BC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác ta lấy một điểm $D$. Gọi $A',B',C'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng: $\frac{BC}{DA'}=\frac{CA}{DB'}+\frac{AB}{DC'}$

$7.$ Cho tam giác đều $ABC$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $B$ qua đường thẳng $AC$. Đường thẳng qua $B$ cắt các đường thẳng $AD,CD$ lần lượt tại $M,N$. Các đường thẳng $AN,CM$ cắt nhau tại điểm $E$. Chứng minh bốn điểm $A,C,D,E$ cùng nằm trên một đường tròn.

$8.$ Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh $AB=a$. Một đường thẳng đi qua trọng tâm $G$ của tam giác cắt các đường thẳng $BC,CA,AB$ lần lượt tại $M,N,P$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{GM^{4}}+\frac{1}{GN^{4}}+\frac{1}{GP^{4}}$ là không đổi.

p/s: Mong các bạn đóng góp nhiều bài hay hơn nữa cho topic của mình

Giải dùm mình với

cho hình bình hành $ABCD$ có đường chéo $AC>BD$. Kẻ $CH \perp AD$, $CK \perp AB$. chứng minh $HK=AC.sin\widehat{BAD}$

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường phân giác trong $BE$. Đường tròn đường kính $AB$ cắt $BE,BC$ lần lượt tại $M,N$. Đường thẳng $AM$ cắt $BC$ tại $K$. Chứng minh: $AE.AN=AM.AK$

Cho $(O;AB)$ ($AB$ cố định), $I$ là điểm nằm giữa $A$ và $O$ sao cho $AI=\frac{2}{3}AO$. Kẻ dây $MN$ vuông góc với $AB$ tại $I$. Gọi $C$ là điểm tùy ý thuộc cung lớn $MN$ sao cho $C$ không trùng với $M,N$ và $B$. Nối $AC$ cắt $MN$ tại $E$

   $a)$ Chứng minh tứ giác $IECB$ nội tiếp

   $b)$ Chứng minh $AM^{2}=AE.AC$ và $AM$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $MEC$

   $c)$ Chứng minh $AE.AC-AI.IB=AI^{2}$ 

   $d)$ Xác định vị trí của $C$ sao cho khoảng cách từ $N$ tới tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $CEM$ nhỏ nhất

Cho $(O)$, điểm $K$ nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến $KA,KB$ tới $(O)$. Kẻ đường kính $AC$. tiếp tuyến của $(O)$ tại $C$ cắt $AB$ ở $E$. Chứng minh:

   $a)$ $\Delta KBC \sim \Delta OBE$

   $b)$ $CK \perp OE$