Changg Changg

Đề. Cho tam giác $ABC$ và tam giác $XYZ$ trực giao và có cùng tâm trực giao. Chứng minh $AX, BY, CZ$ đồng quy.

Mở rộng bài 52 trong sách tài liệu chuyên toán.

Nhóm mình có 86 người. Mình có 70 viên kim cương, 80 viên ngọc ruby và 22 viên sofia, mình muốn phát cho mỗi người 2 viên. Hỏi mình có bao nhiêu cách phát?

Bài 1. Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{N}^{*}\to \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn:

(i) $f(1)=1$

(ii) $f(2n)=2f(n)-1\;\;\forall n\in\mathbb{N}^{*}$

(iii) $f(2n+1)=2f(n)+1\;\;\forall n\in\mathbb{N}^{*}$

Bài 2. Cho hàm số $f: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ thỏa mãn:

(i) $f(4n)=f(2n)+f(n)\;\;\forall n\in\mathbb{N}$

(ii) $f(4n+2)=f(4n)+1\;\;\forall n\in\mathbb{N}$

(iii) $f(2n+1)=f(2n)+1\;\;\forall n\in\mathbb{N}$

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $m$, số các số nguyên $n$ thuộc $[0, 2^m]$ thỏa mãn $f(4n)=f(3n)$ chính bằng $f(2^{m+1})$

P.s. Đề dài quá không biết đặt tiêu đề ra sao :|

Cho số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng nếu $n$ có trên $1$ ước số thì tồn tại số nguyên $0<k<n-1$ sao cho $2n\mid k(k+1)$

Điều ngược lại có đúng hay không?