hcmsaobang2001

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB>AC)$ có $AP, BN,CM$ là đường trung tuyến. Trên cạnh $CM$ lấy 3 điểm $D, G, A'$ ($C,D,G,A'$ thẳng hàng theo thứ tự này) thỏa mãn $\large \left\{\begin{matrix} GM.A'G = GD.CG\\ CG.AG = 4GM.GD \\ \end{matrix}\right.$ . Trên đường thẳng qua $A'$ và song song với $BC$ lấy $B'$ đối xứng với $A'$ qua $F$ ($\large F\in AG$) . Trên cạnh $AP$ lấy điểm $C'$ lần lượt đối xứng với $A',B'$ qua $E,D$ ($\large E\in BG;D\in CG$). Chứng minh $A',B',C'$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $GBA,GCA,GBC$ và $G$ là trọng tâm của 2 tam giác $ABC, A'B'C'$
 fng.png   60.79K   26 Số lần tải

Chứng minh các bất đẳng thức sau bằng phương pháp tối ưu nhất :


Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a\geq b\geq c> 0$ . Chứng minh rằng:
 

$a,\frac{a^{3}+2b^{3}}{b^{3}+2a^{3}}+\frac{b^{3}+2c^{3}}{c^{3}+2b^{3}}+\frac{a}{c}\geq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{c^{3}+2a^{3}}{a^{3}+2c^{3}}$
 

$b,\frac{a^{3}+2b^{3}}{b^{3}+2a^{3}}+\frac{b^{3}+2c^{3}}{c^{3}+2b^{3}}+\frac{a^{3}+2c^{3}}{c^{3}+2a^{3}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b^{2}}{c^{2}}}$