huonggiangcute

Đổi biến $\frac{1}{a}\rightarrow x$ tương tự 2 cái kia có $x+y+z=2$

BĐT trở thành $\sum \frac{x^{3}}{x^{2}-4x+4}\geq \frac{1}{2}$

Ta cm đc $\frac{x^{3}}{x^{2}-4x+4}\geq x-\frac{1}{2}\Rightarrow (3x-2)^{2}\geq 0$ 
Cộng theo vế là ok

Cho các số thực $x,y,z$ thoả mãn $\left\{\begin{matrix}x+y+z=0 & \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 & \end{matrix}\right.$

Bài 2 ( Thụy Sĩ 2006 ): 

Tính số tập con $X=\left \{ 1,2,...,2n \right \}$ sao cho không tồn tại $2$ phần tử có tổng bằng $2n+1$

Nhờ xem đáp án em nghĩ ra hướng giải như sau   
Chia $X$ thành $n$ nhóm $(1,2n);\;(2,2n-1);\;...;(n,n+1)$
Cứ mỗi nhóm có 3 khả năng 
- Không chọn bất kì số nào
-Chọn 1 trong 2 số 
Chung quy lại có 3 cách 
Vì có $n$ nhóm nên đáp số sẽ là $3^{n}$ (vì tính cả tập rỗng)
Ps: Nếu không tính tập rỗng thì đáp án sẽ là $3^{n} -1$
 

Cho một bảng vuông $n\times n$ .Mỗi hình vuông đơn vị được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ .Hỏi có bao nhiêu cách tô màu mà trong bảng vuông đó có chứa bảng vuông $2\times 2$ toàn các ô màu đỏ .

Bài 5 ( Vô địch cộng hòa Czech 1998 ):

Cho $X$ là 1 tập hợp gồm $14$ số nguyên dương phân biệt. Chứng minh rằng có 1 số nguyên dương $k\leq 7$ và có 2 tập con $k$ phần tử:

$\left \{ a_1,a_2,...,a_k \right \}$,$\left \{ b_1,b_2,...,b_k \right \}$ rời nhau của $X$ sao cho $\left | (\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_k})-(\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+...+\frac{1}{b_k}) \right |< \frac{1}{1000}$

Bài này THCS hoàn toàn có thể giải được

Xét $k=7$ .số tập con có 7 phần tử từ $X$ là $C_{14}^{7}=3432$
Tổng nghịch đảo của nó không quá $\sum_{i=1}^{7} \frac{1}{i}<3$

Xét 3000 nửa khoảng $(0;\frac{1}{1000}];(\frac{1}{1000};\frac{2}{1000}].......(\frac{2999}{3000};1]$
Theo nguyên lí Dirichle thì tồn tại 1 khoảng chứa 2 tập con và bỏ đi trùng nhau ta chọn được 2 bộ số thoả mãn ycbt .Do đò bài toán đúng với  $k\leq 7$ 
P/s: Kẹp Lỏng    

$A^{2}=(a+b+c)^{2}(\sum a^{2}-\sum ab)(\sum a^{2}-\sum ab)\leq (\frac{3(\sum a^{2})}{3})^{3}=8\Rightarrow = -2\sqrt{2}\leq A\leq 2\sqrt{2}$

Chọn vị trí ban đầu làm gốc tọa độ, chiều dương là chiều của bước thứ nhất.Gọi $x_i$ là độ dài đại số của bước thứ $i$ ($\left | x_i \right |=i,\forall i\in \mathbb{N}$)

Giả sử : $x_{4k}=-4k$ ; $x_{4k+1}=4k+1$ ; $x_{4k+2}=4k+2$ ; $x_{4k+3}=-(4k+3)$ ($k$ nguyên, từ $0$ đến $503$)

Khi đó, dễ thấy rằng $x_1+x_2+...+x_{2015}=0$ $\Rightarrow$ đề sai.

làm sao có thể giả sử  $x_{4k}=-4k$ ; $x_{4k+1}=4k+1$ ; $x_{4k+2}=4k+2$ ; $x_{4k+3}=-(4k+3)$ ($k$ nguyên, từ $0$ đến $503$) được vây anh?