Nee Kim

1.Cho $x,y$ không âm thỏa mãn $x+y=2\sqrt{3}$

Tìm Max $P=(1+x^4)(1+y^4)$

2. Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a+b+c=1$.

Tìm Max của $P=6(ab+bc+ca)+a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2$

3. Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xy^2z^2+x^2z+y=3z^2$.

Tìm Max của $P=\frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}$

1.Cho $x,y,z>0$. CMR

$2(x^3+y^3+z^3)+3xyz\geq 3(x^2y+y^2z+z^2x)$

2. Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+2y+3z=3$

CMR: $P=\frac{x}{1+4y^2}+\frac{2y}{1+9z^2}+\frac{3z}{1+x^2}\geq \frac{3}{2}$

1.Cho $a,b,c>0$.CMR:

$P=(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3)\geq (a+b+c)^3$

2. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. CMR:

$P=\frac{a^4}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^4}{(a+1)(c+1)}+\frac{c^4}{(a+1)(b+1)}\geq \frac{3}{4}$

Cho $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. CMR:

$\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$PT\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y+z=5-x\\ y^{2}+z^{2}=5-x^{2} \end{matrix}\right.\Rightarrow yz=\frac{1}{2}[(y+z)^{2}-(y^{2}+z^{2})]=\frac{1}{2}[(5-x)^{2}-x^{2})]=x^{2}-5x+10\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y+z=5-z\\ yz=x^{2}-5x+8 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow y,z$ là nghiệm của phương trình

$(9S^{2}-(5-x)S+(x^{2}-5x+8)=0\Rightarrow \Delta =(5-x)^{2}-4(x^{2}-5x+8)\geq 0\Rightarrow ...$

tại sao $yz=x^2-5x+8$ thế ạ???

1. Cho $a,b,c$ thỏa mãn: 

$\left\{\begin{matrix} a^2+b^2+c^2=2 & \\ ab+bc+ca=1& \end{matrix}\right.$

CMR $\frac{-4}{3}\leq a,b,c\leq \frac{4}{3}$

2. Cho $x,y,z$ thỏa mãn : $\left\{\begin{matrix} x+y+z=5 & \\ x^2+y^2+x^2=9& \end{matrix}\right.$

CMR $1\leq x,y,z\leq \frac{7}{3}$

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2\geq 1$. Tìm GTNN của biểu thức:

$B=\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}$

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$ đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $B$ cắt $CD$ ở $I$ Gọi $K$ là giao của $IO$ và $AD$ . CMR:

a, $\widehat{IBK}=\widehat{IDK}$

b, $\widehat{CBK}=90^{\circ}$

Tìm nghiệm nguyên của phương trình 

$(x^2+2)(y^2+3)(z^2+4)=60xyz$

Cho đa thức bậc $n$ $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+1$ với các hệ số không âm.

a) Giả sử $P(x)$ có $n$ nghiệm thực.CMR:  $P(2)\geq 3^{n}$

b) CMR nếu $a_{n-1}< 2$ và $a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}\geq 3$ thì $P(x)$ không thể có $n$ nghiệm thực

Giả sử X, Y là hai tập khác rỗng, rời nhau thỏa mãn  $X\cup Y$ $=$ { $1;2;...;10$}.Chứng minh rằng tồn tại phần tử $a\epsilon X;b\epsilon Y$ sao cho $a^3+ab^2+b^3 \vdots 11$