Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


redline

Đăng ký: 21-08-2006
Offline Đăng nhập: 17-07-2019 - 21:07
*****

#439612 Nếu A là ma trận vuông cấp n có các phần là 1 hoặc -1 thì $...

Gửi bởi redline trong 01-08-2013 - 08:15

Quy nạp theo $n$ rằng khẳng định đó đúng. Nếu $n=1$, hiển nhiên.

 

Nếu $n > 1$. Cộng hàng thứ $2$ vào hàng thứ nhất. Khi đó các phần tử của hàng thứ nhất đều chia hết cho $2$ (vì chúng là $0$ hoặc $2$). Khai triển định thức theo hàng thứ nhất và áp dụng giả thiết quy nạp, ta suy ra  điều phải chứng minh.

 




#302423 Có tồn tại ma trân thực A vuông cấp hai sao cho $A^{2010}=\begin{bm...

Gửi bởi redline trong 05-03-2012 - 22:03

Câu 1: Tồn tại hay không tồn tại một ma trận vuông thực cấp 2 thỏa mãn $A^{2010}=\begin{bmatrix} -1 &0 \\ 0& -1-e \end{bmatrix}$
trong đó e là một hằng số dương.

Câu 2: Tồn tại hay không một ma trân thực A vuông cấp hai sao cho $A^{2010}=\begin{bmatrix} -2008 &2010 \\ 0& -2009 \end{bmatrix}$


Câu 1. Gọi đa thức đặc trưng của $A$ là $p(x)$, thì $p(x)$ là đa thức bậc hai. Khi chia $x^{2010}$ cho $p(x)$ được thương $q(x)$ và dư là một đa thức bậc nhiều nhất là 1, ký hiệu đó là $ux+v$ trong đó $u$ và $v$ là các số thực.
$$x^{2010} = p(x)q(x) + (ux+v).$$
Theo Định lý Cayley-Hamilton, ta có $p(A) =0$. Nên $A^{2010} = uA+vE$, trong đó $E$ là ma trận đơn vị cấp $2$. Giả sử
$A = \begin{bmatrix} a &b \\ c& d \end{bmatrix}$.
Từ $uA + vE = \begin{bmatrix} -1 &0 \\ 0& -1-e \end{bmatrix}$
Suy ra: $ua+v = -1, ud+v = -1-e, ub = 0, uc = 0$. Từ hai phương trình đầu suy ra $u \ne 0$, nên từ hai phương trình cuối suy ra $b = c = 0$. Do đó
$A = \begin{bmatrix} a &0 \\ 0& d \end{bmatrix}$.
Nên $A^{2010} = \begin{bmatrix} a^{2010} &0 \\ 0& d^{2010} \end{bmatrix}$.
Suy ra $a^{2010} = -1$ và $b^{2010} = -1-e$, vô lý. Nên ma trận $A$ không tồn tại.

Câu 2. Chứng minh tương tự. Chỉ cần chứng minh rằng: $A = \begin{bmatrix} a &b \\ c& d \end{bmatrix}$, thì $c = 0$. Và do đó suy ra $a^{2010} = -2008$, vô lý, QED.


#302404 $A, B\in M_{n}(\mathbb{R}):Tr(AA^{T}+BB^{T})=Tr(AB+A^{T}B^{T})...

Gửi bởi redline trong 05-03-2012 - 21:05

Cho $A, B\in M_{n}(\mathbb{R}):Tr(AA^{T}+BB^{T})=Tr(AB+A^{T}B^{T})$ Chứng minh: $A=B^{T}$


Giả sử $A = (a_{ij})$ và $B=(b_{ij})$. Ta có

$$Tr(AA^T) = \sum_{i=1}^n (AA^T)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}^2$$
$$Tr(BB^T) = \sum_{i=1}^n (BB^T)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{ij}^2$$
$$Tr(AB) = \sum_{i=1}^n (AB)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}$$
$$Tr(A^TB^T) = \sum_{i=1}^n (A^TB^T)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (A^T)_{ij}(B^T)_{ji} =
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ji}b_{ij} = Tr(BA) = Tr(AB)$$
Nên từ $Tr(AA^{T}+BB^{T})=Tr(AB+A^{T}B^{T})$ suy ra

$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}^2 + \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{ij}^2 = 2\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ji}b_{ij}$$
hay $$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_{ij}-b_{ji})^2 = 0$$
Nên $a_{ij} = b_{ji}$ với mọi i, j. Tức là $A = B^T$, QED.


#302396 Cho $A,B\in M_{n}(\mathbb{R}):AB+A+B=0$ Chứng minh $...

Gửi bởi redline trong 05-03-2012 - 20:45

Cho $A,B\in M_{n}(\mathbb{R}):AB+A+B=0$ Chứng minh $rankA=rankB$


Vì $AB+A+B=0$, nên $(-A-E)(B+E) = E$ trong đó $E$ là ma trận đơn vị cấp $n$. Suy ra $det(-A-E)det(B+E) = det(E) =1$. Do đó $det(-A-E) \ne 0$, tức là ma trận $-A-E$ khả nghịch. Nên từ $A = (-A-E)B$, suy ra $rank A = rank B$, QED.