vta00

TH1:Nếu có 2 số lớn hơn bằng 1,1 số nhỏ hơn bằng 1,giả sử $a\leq 1,b\geq 1,c\geq 1$,áp dụng bdt Bernoulli $a^a=\frac{a}{a^{1-a}}=\frac{a}{(1+a-1)^{1-a}}\geq \frac{a}{1+(1-a)(a-1)}=\frac{a}{2a-a^2}=\frac{1}{2-a}$,$b^b=(1+b-1)^b\geq1+b(b-1)=b^2-b+1\geq b$,$c^c=(1+c-1)^c\geq 1+c(c-1)\geq c^2-c+1\geq c$.Suy ra $\sum \frac{1}{a^a(b+c)}\leq \frac{2-a}{b+c}+\frac{1}{b(c+a)}+\frac{1}{c(a+b)}=f(a,b,c)$,ta sẽ đi cm$f(a,b,c)\leq f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})$ hay $\frac{2-a}{b+c}+\frac{1}{b(c+a)}+\frac{1}{c(a+b)}\leq \frac{2-a}{2\sqrt{bc}}+\frac{2}{bc+a\sqrt{bc}}$.Thật vậy $\frac{2-a}{b+c}\leq \frac{2-a}{2\sqrt{bc}}\Leftrightarrow (\sqrt{b}-\sqrt{c})^2\geq 0$ đúng với mọi $b,c$ không âm,$\frac{1}{b(c+a)}+\frac{1}{c(a+b)}\leq \frac{2}{(bc+bc \sqrt a)}=\frac{2}{bc+\sqrt a}$ điều này tương đương $(1-a\sqrt a)(b+c-\frac{2}{\sqrt a})\geq 0$,đúng với mọi $a\leq 1$ do $b+c\geq 2\sqrt {bc}=frac{2}{\sqrt a}$.Ta sẽ đi chứng minh $f(a,\sqrt bc,\sqrt bc)=f(a,\frac{1}{\sqrt a},\frac{1}{\sqrt a})=\frac{2-a}{\frac{2}{\sqrt a}}+\frac{2}{\frac{1}{a}+\sqrt a}\leq \frac{3}{2}$,đặt $t=\sqrt a$ thì tương đương $(t-1)^2(t^4+2t^3+t^2+4t+3)\sqrt 0$ đúng. TH2:Nếu có 2 số nhỏ hơn bằng 1,1 số nhỏ hơn bằng 1,giả sử $a\leq 1,b\leq 1,c\geq 1$,như TH1 ta quy về cm $\frac{2-a}{b+c}+\frac{2-b}{c+a}+\frac{1}{c(a+b)}\leq \frac{3}{2}$,để ý thấy $\frac{2-b}{a+c}=\frac{b(2-b)}{b(c+a)}\leq \frac{1}{b(c+a)}$ nên quy về giống như TH1,đúng với mọi $a\leq 1$

Giải phương trình: $\sqrt{3x^{2}-2x+2}+\sqrt{2x-1}+\sqrt{3x+1}+6x^{3}-7x^{2}-3=0$ 

https://www.wolframa...)+6x^3-7x^2-3=0

Nếu $c\leq2$ thì $\frac{c}{a}+2\leq \frac{2}{1}+2=4,\frac{b}{a}-1\leq \frac{3}{1}-1=2\Rightarrow \left ( \frac{b}{a}-1 \right )(\frac{c}{a}+2)\leq 8$.Nếu $c\geq2$ thì  $\left ( \frac{b}{a}-1 \right )(\frac{c}{a}+2)\leq 8\Leftrightarrow \left ( \frac{\sqrt{14-a^2-c^2}}{a}-1 \right )(\frac{c}{a}+2)\leq 8\Leftrightarrow \left ( 2a+c \right )\sqrt{14-a^2-c^2}\leq 10a^2+ca\Leftrightarrow 104a^4+24ac^3+6c^2a^2+4ac^3+c^4-14c^2-56a^2-56ac\geq 0$,ta có $6c^2a^2\geq 6c^2,16a^4\geq16,c^4-8c^2+16\geq0,a(32a^3+24a^2c+4c^3-56c)\geq a\left ( 32-32c+4c^3 \right )=a(c-2)(c^2+2c-4)\geq 0$ cộng các bất đẳng thức lại suy ra đcpcm.

Xét $n$ có dạng $6k+r$ với $k,r\in \mathbb{Z},r= \overline{0,5}$ thì thấy không có số $n$ thỏa mãn $7|3^n+2^n$

Câu 2:Giả sử tồn tại tam giác thỏa mãn là $ABC$ .Xét tam giác $ABC$,đường cao $AD,BE,CF$ và trực tâm $H$. Ta có $AD.BC=2S>200$,vì $AD<1$ nên $BC>200$,tương tự $AB>200,AC>200$.Mặt khác $BH+HD>BD,CH+HD>CD$ suy ra $BH+HC+2HD>BC>200$ mà $BH<BE<1,CH<CF<1,2HD<2AD<2$ suy ra $BH+HC+2HD<4$ vô lí suy ra không tồn tại tam giác thỏa mãn.