Hide On Mask

hình như đề bài là: $x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=2$(1)

ĐK: $x\geq \frac{-1}{4}$

(1)$\Leftrightarrow x+\sqrt{\left ( \sqrt{x+\frac{1}{4}} +\frac{1}{2}\right )^{2}}=2\Leftrightarrow x+\left | \sqrt{x+\frac{1}{4}} +\frac{1}{2}\right |=2$$\Leftrightarrow x+\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}=2 \Leftrightarrow \left ( \sqrt{x+\frac{1}{4}} +\frac{1}{2}\right )^{2}-2=0$$\Leftrightarrow x=2-\sqrt{2}$

Đề hoàn toàn không sai, bạn nhé 

Thế này chưa đủ rõ nữa hả e, hoặc nếu không e đọc thêm về dãy số để cảm nhận tốt hơn, chứ không phải ngẫu nhiên đi xét cái dãy đó đâu

Nếu đi thi thì trình bày sao anh ?

Bài 1: Đề hơi khó hiểu nên k chém đc, nhìn giống khẳng định hơn câu hỏi

 

Bài 2:Xét dãy số: $x_0=5,x_{n+1}=2^{x_n}-1$ với $n \geq 0$

Ta chứng minh các số hạng trong dãy này đều có tính chất: $2^{x_n}-2 \vdots x_n$

+) Với $n=0$ đúng

+) Giả sử điều này đúng với mọi số bé hơn $k+1$,ta chứng minh nó cũng đúng với $n=k+1$

$2^{x_{k+1}}-2=2(2^{x_{k+1}-1}-1)=2(2^{2^{x_k}-2}-1)=2((2^{x_k})^{\frac{2^{x_k}-2}{x_k}}-1) \vdots 2^{x_k}-1=x_{k+1}$

Theo quy nạp ta có đpcm

Dễ thấy dãy số trên là dãy tăng ngặt nên có vô số số hạng, tức là có vô số số hạng thỏa mãn tính chất chung: $2^m-2 \vdots m$ 

Em cũng có quyển sách đó đây , nhưng em đang bí phần qui nạp    anh làm rõ phần qui nạp đi

Có bạn nào dùng qui nạp được không ?

Lời giải bài 2 : 

Ta sẽ chứng minh với $p$ là số nguyên tố và $p>3$ thì số $m$ có dạng $m=\frac{2^{2p}-1}{3}$ sẽ thỏa mãn $2^m-1 \vdots m$.

 

$\blacklozenge$ Chứng minh :

Ta có $m-1=\frac{2^{2p}-1}{3}-1=\frac{4(2^{p-1}+1)(2^{p-1}-1)}{3}$

Vì $p$ là số nguyên tố lẻ nên$p-1$ chẵn, ta có: $2^{p-1}\equiv 1(\mod3 )$

Theo định lý Fermat nhỏ có : $2^{p-1}\equiv 1(\mod p)$

Vậy : $2^{p-1}-1\vdots 3p$ $\Rightarrow \frac{2^{p-1}-1}{3}\vdots p$

Do đó : $n-1\vdots 2p$ 

Từ đó suy ra : $2^{m-1}-1\vdots 2^{2p}-1$

Mà theo cách chọn $m$ thì : $2^{2p}-1\vdots m$ nên suy ra: $2^{m-1}-1\vdots m$

tức là : $2^m-1 \vdots m$ 

Vậy tồn tại vố số $m$ thỏa mãn đề bài

 

Spoiler

không chắc lắm   

Lời giải hình như có chút nhầm lẫn thì phải

1. Đây là $-2$

2. Số $m$ có nhiều dạng chứ đâu có nhất định một dạng cụ thể