Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


JenTrinh

Đăng ký: 04-07-2015
Offline Đăng nhập: 19-07-2016 - 12:23
**---

#578099 Chứng minh rằng nếu a không chia hết cho 5 thì $(a^{8}+3a^...

Gửi bởi JenTrinh trong 03-08-2015 - 11:01

4. Chứng minh rằng nếu a không chia hết cho 5 thì $(a^{8}+3a^{4}-4)\vdots 100$

Ta cần chứng minh $a^8+3a^4-4$ chia hết cho $4$ và $25$.

Chứng minh $a^8+3a^4-4 \vdots 4$ :

Nếu $a$ chẵn thì $a^8+3a^4-4$ hiển nhiên chia hết cho $4$.

Nếu $a$ lẻ thì $a^2\equiv 1$ (mod $4$) $\Rightarrow a^8\equiv 1$ (mod $4$) và $3a^4\equiv 3$ (mod $4$)

Do đó $a^8+3a^4-4\vdots 4$ với mọi $a$.

Chứng minh $a^8+3a^4-4\vdots 25$ :

Vì $a$ không chia hết cho $5$ nên ta xét $2$ trường hợp :

Trường hợp $1$ : $a=5k\pm 1$ ($k\in\mathbb{Z}$) $\Rightarrow a^2=25k^2\pm 10k+1\equiv \pm 10k+1$ (mod $25$)

$\Rightarrow a^4\equiv \left ( \pm 10k+1 \right )^2= 100k^2\pm 20k+1\equiv \pm 20k+1$ (mod $25$)

$\Rightarrow a^8\equiv \left ( \pm 20k+1 \right )^2=400k^2\pm 40k+1\equiv \pm 40k+1$ (mod $25$)

Do đó $a^8+3a^4-4\equiv \left ( \pm 15k+1 \right )+3\left ( \pm 20k+1 \right )-4= \pm 75k$ (mod $25$) hay $a^8+3a^4-4\vdots 25$.

Trường hợp $2$ : $a=5k\pm 2$ ($k\in\mathbb{Z}$), chứng minh hoàn toàn tương tự.

Vậy $a^8+3a^4-4\vdots 25$ với mọi $a$ không chia hết cho $5$.

Lại có $(4;25)=1$ nên $a^8+3a^4-4\vdots 100$ với $a$ không chia hết cho $5$.




#576236 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Gửi bởi JenTrinh trong 28-07-2015 - 16:53

Câu b) có cách giải kiểu lớp 8 không bạn

từ $N$ vẽ đường thẳng song song với $CD$ cắt $AC$ tại $P$

ta có $\Delta CNP$ vuông cân tại $N$ $\Rightarrow NP=NC=AM$ $\Rightarrow AMPN$ là hình bình hành $\Rightarrow AP$ đi qua trung điểm của $MN$ hay $A$, $I$, $C$ thẳng hàng




#575581 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Gửi bởi JenTrinh trong 26-07-2015 - 17:17

2)Cho hình thoi ABCD, $AH\perp CB, AK\perp CD .$ Tính các gọc hình thoi biết :

b) 2HK=BD

Untitled.png

dễ thấy $HK\perp AC$ $\Rightarrow HK \parallel BD$ $\Rightarrow \frac{CH}{CB}=\frac{CK}{CD}=\frac{HK}{BD}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow H$ là trung điểm $BC$ $\Rightarrow \Delta ABC$ cân tại $A$ $\Rightarrow \Delta ABC$ đều

vậy $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=60^{\circ}$, $\widehat{BAD}=\widehat{BCD}=120^{\circ}$




#575572 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Gửi bởi JenTrinh trong 26-07-2015 - 16:33

1)Cho hình vuông ABCD, M thuộc aB, N thuộc tia đối của tia cb sao cho AM=CN. CM

a) MDN vuông cân

b) I là trung điểm MN chứng minh aIC thẳng hàng.

Untitled.png

a) $\Delta ADM = \Delta CDN$ (c-g-c) $\Rightarrow DM = DN$, $\widehat{ADM}=\widehat{CDN}$ $\Rightarrow \widehat{MDN}=\widehat{ADC}=90^{\circ}$ $\Rightarrow \Delta MDN$ vuông cân

b) $I$ : trung điểm $MN$ $\Rightarrow \widehat{DIN}=90^{\circ}=\widehat{DCN}$ $\Rightarrow DICN$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{DCI}=\widehat{DNI}=45^{\circ}=\widehat{DCA}$ $\Rightarrow A$, $I$, $C$ thẳng hàng