4. Chứng minh rằng nếu a không chia hết cho 5 thì $(a^{8}+3a^{4}-4)\vdots 100$
Ta cần chứng minh $a^8+3a^4-4$ chia hết cho $4$ và $25$.
Chứng minh $a^8+3a^4-4 \vdots 4$ :
Nếu $a$ chẵn thì $a^8+3a^4-4$ hiển nhiên chia hết cho $4$.
Nếu $a$ lẻ thì $a^2\equiv 1$ (mod $4$) $\Rightarrow a^8\equiv 1$ (mod $4$) và $3a^4\equiv 3$ (mod $4$)
Do đó $a^8+3a^4-4\vdots 4$ với mọi $a$.
Chứng minh $a^8+3a^4-4\vdots 25$ :
Vì $a$ không chia hết cho $5$ nên ta xét $2$ trường hợp :
Trường hợp $1$ : $a=5k\pm 1$ ($k\in\mathbb{Z}$) $\Rightarrow a^2=25k^2\pm 10k+1\equiv \pm 10k+1$ (mod $25$)
$\Rightarrow a^4\equiv \left ( \pm 10k+1 \right )^2= 100k^2\pm 20k+1\equiv \pm 20k+1$ (mod $25$)
$\Rightarrow a^8\equiv \left ( \pm 20k+1 \right )^2=400k^2\pm 40k+1\equiv \pm 40k+1$ (mod $25$)
Do đó $a^8+3a^4-4\equiv \left ( \pm 15k+1 \right )+3\left ( \pm 20k+1 \right )-4= \pm 75k$ (mod $25$) hay $a^8+3a^4-4\vdots 25$.
Trường hợp $2$ : $a=5k\pm 2$ ($k\in\mathbb{Z}$), chứng minh hoàn toàn tương tự.
Vậy $a^8+3a^4-4\vdots 25$ với mọi $a$ không chia hết cho $5$.
Lại có $(4;25)=1$ nên $a^8+3a^4-4\vdots 100$ với $a$ không chia hết cho $5$.
- LeHKhai yêu thích